目錄

• 快速排序演算法模板 —— 模板題 AcWing 785. 快速排序
• 歸併排序演算法模板 —— 模板題 AcWing 787. 歸併排序
• 整數二分演算法模板 —— 模板題 AcWing 789. 數的範圍
• 浮點數二分演算法模板 —— 模板題 AcWing 790. 數的三次方根
• 高精度加法
• 高精度減法
• 高精度乘低精度
• 高精度除以低精度
• 一維字首和
• 二維字首和
• 一維差分 —— 模板題 AcWing 797. 差分
• 二維差分
• 位運算
• 雙指標演算法
• 離散化 -- 模板
• 區間合併 —— 模板

快速排序演算法模板 —— 模板題 AcWing 785. 快速排序

void quick_sort(int q[], int l, int r){
    if (l >= r) return;

    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    while (i < j){
        do i++; while (q[i] < x);
        do j--; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}
 

歸併排序演算法模板 —— 模板題 AcWing 787. 歸併排序

void merge_sort(int q[], int l, int r) {
    if (l >= r) return;

    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];
        else tmp[k++] = q[j++];

    while (i <= mid) tmp[k++] = q[i++];
    while (j <= r) tmp[k++] = q[j++];

    for (i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) q[i] = tmp[j];
}
 

整數二分演算法模板 —— 模板題 AcWing 789. 數的範圍

bool check(int x) {/* ... */} // 檢查x是否滿足某種性質

// 區間[l, r]被劃分成[l, mid]和[mid + 1, r]時使用：
int bsearch_1(int l, int r){
    while (l < r){
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判斷mid是否滿足性質
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 區間[l, r]被劃分成[l, mid - 1]和[mid, r]時使用：
int bsearch_2(int l, int r){
    while (l < r){
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}
 

浮點數二分演算法模板 —— 模板題 AcWing 790. 數的三次方根

bool check(double x) {/* ... */} // 檢查x是否滿足某種性質

double bsearch_3(double l, double r){
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取決於題目對精度的要求
    while (r - l > eps){
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

高精度加法

// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);

    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}

高精度減法

// C = A - B, 滿足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

高精度乘低精度

// C = A * b, A >= 0, b > 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;

    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
    {
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();

    return C;
}

高精度除以低精度

// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    reverse(C.begin(), C.end());
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

一維字首和

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

二維字首和

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)為左上角，(x2, y2)為右下角的子矩陣的和為：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

一維差分 —— 模板題 AcWing 797. 差分

給區間[l, r]中的每個數加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

二維差分

給以(x1, y1)為左上角，(x2, y2)為右下角的子矩陣中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

位運算

求n的第k位數字: n >> k & 1
返回n的最後一位1：lowbit(n) = n & -n

雙指標演算法

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;

    // 具體問題的邏輯
}
常見問題分類：
    (1) 對於一個序列，用兩個指標維護一段區間
    (2) 對於兩個序列，維護某種次序，比如歸併排序中合併兩個有序序列的操作

離散化 -- 模板

vector<int> alls; // 儲存所有待離散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 將所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重複元素

// 二分求出x對應的離散化的值
int find(int x) // 找到第一個大於等於x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 對映到1, 2, ...n
}

區間合併 —— 模板

// 將所有存在交集的區間合併
void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;

    sort(segs.begin(), segs.end());

    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
        if (ed < seg.first)
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);

    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});

    segs = res;
}