紅黑樹原理、查詢效率、插入及變化規則分析
引言
在文章《各種查詢演算法的選用分析（順序查詢、二分查詢、二叉平衡樹、B樹、紅黑樹、B+樹）》中我們分析過，紅黑樹的本質其實就是對概念模型：階數為4的B樹——“2-3-4樹”的一種實現，也能從文章中看出選用紅黑樹的優點。
下面我們分析一下為什麼紅黑樹的本質其實就是對概念模型：階數為4的B樹——“2-3-4樹”的一種實現。
和2-3-4樹的關係
2-3-4樹就是階數為4的B樹。紅黑樹是對概念模型2-3-4樹的一種實現，由於直接進行不同節點間的轉化會造成較大的開銷，所以選擇以二叉樹為基礎，在二叉樹的屬性中加入一個顏色屬性來表示2-3-4樹中不同的節點。2-3-4樹到紅黑樹的轉化過程：
舉個例子，對比一下插入過程就更加能體會2-3-4樹和紅黑樹的關係了。分別向紅黑樹、2-3-4樹依次插入2、3、4、5、6、7：
紅黑樹
定義
紅黑樹需要滿足如下四個要求：
- 根節點是黑色的；
- 每個葉子節點都是黑色的空節點，也就是說，葉子節點不儲存資料；
- 任何相鄰的節點都不能同時為紅色，也就是說，紅色節點是被黑色節點隔開的；
- 每個節點，從該節點到達其可達葉子節點的所有路徑，都包含相同數目的黑色節點
通過對2-3-4樹和紅黑樹關係的講解，其實就可以體會到，紅黑樹定義中的這四個要求，其實就是為了讓紅黑樹始終是變形的2-3-4樹。
- 黑色節點對應的就是每個2-3-4樹節點中間的那個鍵值
- 三個鍵值的中間：(0+2)/2=1
- 兩個鍵值的中間：(0+1)/2=0
- 紅色節點對應的就是每個2-3-4樹節點兩邊的那個鍵值
所以不可能有兩個連續的紅色節點、根節點必須是黑色、每個節點，從該節點到達其可達葉子節點的所有路徑，都包含相同數目的黑色節點。
再體會下紅黑樹和2-3-4樹的對應關係：
Case 含義 父子都是黑色節點 代表的是2-3-4樹中，上一層節點的中間鍵值指向下一層的中間鍵值 父是黑色節點，子是紅色 代表的是2-3-4樹中，同一個節點中的中間鍵值指向兩邊鍵值 父是紅色節點，子是黑色 代表的是2-3-4樹中，上層節點中的兩邊鍵值指向下一層的中間鍵值
紅黑樹的查詢效率
通過分析紅黑樹和2-3-4樹的關係，其實大概就能體會到紅黑樹的查詢效率應該是和B樹差不多的（畢竟B樹中，找到一個節點後，往下應該順著哪個分支找，也是要通過計算的）。
接下來我們再具體地分析一下紅黑樹的查詢效率。如果把紅黑樹中的所有紅色節點拿掉，然後拿這些節點的爺爺節點作為父節點，你會發現，它變成了一個4階平衡樹。
原因是這條定義：
每個節點，從該節點到達其可達葉子節點的所有路徑，都包含相同數目的黑色節點
所以變換後的樹的查詢的效率為。我們現在知道只包含黑色節點的“黑樹”的高度，那我們現在把紅色節點加回去，高度會變成多少呢？
因為任何相鄰的節點都不能同時為紅色，所以紅色節點不能相鄰，也就是說，有一個紅色節點就要至少有一個黑色節點，將它跟其他紅色節點隔開。所以加入紅色節點後，即使樹高變成了兩倍，那麼查詢的效率也不會高於。
紅黑樹的插入及變化規則
插入及變化規則
在極客時間中老師用了魔方的例子來講解其思想，我覺得很恰當．這裡直接拿來用
不知道你有沒有玩過魔方？其實魔方的復原解法是有固定演算法的：遇到哪幾面是什麼樣子，對應就怎麼轉幾下。你只要跟著這個復原步驟，就肯定能將魔方復原。
實際上，紅黑樹的平衡過程跟魔方復原非常神似，大致過程就是：遇到什麼樣的節點排布，我們就對應怎麼去調整。只要按照這些固定的調整規則來操作，就能將一個非平衡的紅黑樹調整成平衡的。
新插入的節點必須為紅色。
所以如果父節點是黑色的話，插入後還是滿足紅黑樹定義，
不需要調整。如果沒有父節點，或者父節點為紅色，則分為以下四種需要調整的情況：
| 情況 | 調整方式 | 調整步驟 | 舉例 |
|---|---|---|---|
| 1.沒有父節點（當前節點為紅黑樹的根節點） | 變色 | 將該紅色節點變成黑色 | |
| 當前節點的父親是紅色，且它的叔叔節點也是紅色 | 變色 | 1. 把父節點、叔叔節點設為黑色 2. 把爺爺節點設為紅色 |
例子1 |
| 1. 當前父節點是紅色，叔叔節點是黑色 2. 當前的節點是右子樹 |
左旋 | 以父節點作為根節點左旋 | 例子2 |
| 1. 當前父節點是紅色，叔叔節點是黑色 2. 當前的節點是左子樹 |
右旋 | 以父節點作為根節點右旋 | 例子3 |
如果每次調整後，如果調整後的樹不符合紅黑樹定義，則繼續根據上述4種情況調整，直至成為合格的紅黑樹。
例子1
情況：
- 當前節點的父親是紅色，且它的叔叔節點也是紅色
調整：變色
- 把父節點、叔叔節點設為黑色
- 把爺爺節點設為紅色
例子2
情況：
- 當前父節點是紅色，叔叔節點是黑色
- 當前的節點是右子樹
調整：左旋
- 以父節點作為根節點左旋
例子3
情況：
- 當前父節點是紅色，叔叔節點是黑色
- 當前的節點是左子樹
調整：左旋
- 以父節點作為根節點右旋
紅黑樹的插入及變化規則，對應在2-3-4樹中是什麼操作？
1. 新插入的節點必須為紅色
其實向B樹中插入節點時，也是這樣的過程，先把鍵值放到對應的節點上，然後看節點的鍵值是否超過最大的鍵值數
2. 沒有父節點（當前節點為紅黑樹的根節點）
略
3. 當前節點的父親是紅色，且它的叔叔節點也是紅色
是不是對應了變色的過程？
4. 當前父節點是紅色，叔叔節點是黑色；當前的節點是右子樹
是不是對應了左旋的過程？
5. 當前父節點是紅色，叔叔節點是黑色；當前的節點是左子樹
是不是對應了右旋的過程？