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題目

知道黑暗城堡有 \(N\) 個房間，\(M\) 條可以製造的雙向通道，以及每條通道的長度。\n城堡是樹形的並且滿足下面的條件：\n設 \(D_i\)為如果所有的通道都被修建，第 \(i\) 號房間與第 \(1\) 號房間的最短路徑長度；\n而 \(S_i\) 為實際修建的樹形城堡中第 \(i\) 號房間與第 \(1\) 號房間的路徑長度；\n要求對於所有整數 \(i(1≤i≤N)\)，有 \(S_i= D_i\) 成立。\n你想知道有多少種不同的城堡修建方案。當然，你只需要輸出答案對 \(2^{31} -1\) 取模之後的結果就行了。

思路

首先可以求出1號房間到所有房間的距離，跑一遍Dij即可。

然後對於每個點考慮。

如果與其相連的任意點的最短路加上邊權等於這個點最短路，那麼這個點的選擇方式就多1。

最後把每個點的所有選擇方式求積即可。

Code

// Problem: 1486：【例題1】黑暗城堡
// Contest: SSOIER
// URL: http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1486
// Memory Limit: 65 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
const int mo=(1<<31)-1; 
#define N 1010
//#define M
int n, m, i, j, k; 
int mp[N][N], b[N], f[N], a[N], ans=1, l; 
int x, y; 

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in","r",stdin);
//	freopen("tiaoshi.out","w",stdout);
	memset(mp, 0x3f, sizeof(mp)); 
	memset(f, 0x3f, sizeof(f)); f[1]=0; 
	n=read(); m=read(); 
	for(i=1; i<=m; ++i)
	{
		x=read(); y=read(); l=read(); 
		mp[x][y]=mp[y][x]=l; 
	}
	for(i=2; i<=n; ++i)
	{
		for(k=0, j=1; j<=n; ++j)
			if(f[j]<f[k] && !b[j]) k=j; 
		for(b[k]=j=1; j<=n; ++j)
			f[j]=min(f[j], f[k]+mp[k][j]); 
	}
	for(i=2; i<=n; ++i)	
	{
		// printf("%lld ", f[i]); 
		for(j=1; j<=n; ++j)
			a[i]+= f[j]+mp[j][i]==f[i]; 
		ans=ans*a[i]%mo; 
	}
	printf("%lld", ans); 
	return 0;
}


 

總結

這類題其實挺巧妙的，難點在於如何統計方案數。

此題採用的是每個點分開考慮，再用乘法原理相乘。

當我們把1號節點定義為根節點時，任意一條邊如果存在則必然構成父子關係。而邊權都大於0，固必然是大的點是小的點的兒子節點。