自然對數e是怎麼得來的?
1.e的科學解釋
1.1金融故事: 從銀行利率講起
假設你有 1 元錢存在銀行裡，此時發生了嚴重的通貨膨脹，銀行的利率飆到了100%。如果銀行一年付一次利息，自然在一年後你可以拿到1元的本金（藍色圓）和1 元的利息（綠色圓），總共兩元的餘額。
現在引入第一個先驗知識:
若銀行年利率為a%，如果一年被n等分，則1/n年時瞬時利率為a%×1/n = a/n% (1)
現在銀行允許半年付一次利息，那麼到第六個月的瞬時利率是100%/2=1/2，你就能拿到開始存入銀行(第0月)1元對應的100×(1/2) = 0.5元利息了。這時候你會馬上把這0.5 元的利息再次存入銀行，此時引入第二個先驗知識:
只要是利息，經過一段時間也會產生新的利息，這叫“複利”。 (2)
這0.5 元的利息也將在下一結算週期產生利息，因為從第i/n年到(i+1)/n年，經歷過的時間是1/n年，所以這0.5 元的利息在下一個週期結算中產生的利息是1/2×1/2=0.25元。
其中R...ij表示R...i 在Tj週期產生 的利息，所以一年結束後可以領取的金額數為
現在銀行允許每4個月付一次利息，具體每個月情況如下所示:
所以一年結束後可以領取的金額數為
現在銀行允許每3個月付一次利息，具體每個月情況如下所示:
所以一年結束後可以領取的金額數為
顯然易得，如果一年經過n等分，那麼一年結束後可以領取的金額數為
我們進行一系列的迭代運算，我們將看到以下結果：
| n | G |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 2.25 |
| 3 | 2.37 |
| 10 | 2.5937 |
| 100 | 2.705 |
| 1000 | 2.71692 |
| 10000 | 2.7181 |
| 100000 | 2.718268 |
只要在年利率保持 100%不變的情況下，不斷地提高利息的結算次數，一年後的利息將會逼近2.718281828。這正式高等數學微積分裡計算e的一個重要極限:
1.2 純數故事: 一個指數函式的導函式是本身
2.單調有界函式必有極限
先驗知識: 單調有界數列必存在極限
2.1 單調性
顯然有
2.2 有界性
所以有en有界
由2.1和2.2可知en是單調有界數列，必然存在極限
3. e近似值
e的前1000位
e = 2.
7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 957035035
參考文獻
https://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/
https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)