在瞭解拓展歐幾里得時，建議大家先去看一眼歐幾里得演算法（也叫輾轉相除法）

過程大概如下圖所示：

那麼，我們因此也可以給出一段程式碼：

int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

為什麼成立這一塊以後會來填坑的/qq

那麼，什麼是拓展歐幾里得呢？

拓展歐幾里得是一種演算法，在不斷的輾轉相除中得到不定方程

\(ax+by=c\) 的一組解；

我們藉著上面的那個圖來說明一下：

我們看最後一個式子：\(21=6×3+3\) 這裡，我們也可以寫成：\(3=6×(-3)+21\)

也就是說，\(3\) 可以被表示為 \(6\) 和 \(21\)

那麼我們接著看，\(6\) 也可以成 \(21\) 和 \(27\) 的線性組合，因此，有：

那麼一直往下推，我們就可以推出來：\(3\) 就是 \(75\) 和 \(48\) 的線性組合；

那麼，如果 \(c\) 是其他的數，能不能找到解呢？

其實 \(c\) 必須要是 \(\gcd(a,b)\) 的倍數，因此，嘗試等式兩邊同時初以 \(\gcd(a,b)\);

因為等式的左側肯定是一個整數

那麼我們同樣也來看一看這個的具體過程

這裡呢，通過求 \(bx_0+(a \mod b)y_0=c\) 的解，就可以得出來 \(ax+by=c\) 的解；

對比 \(x\) 的係數和 \(y\) 的係數，就是

\(\begin{cases}x=y0\\y=x0-\left [ a /b \right ]y0 \end{cases}\)

這玩意其實就跟輾轉相除差不多一回事，當 \(b=0\) 的時候結束遞迴，

最後令 \(x=1,y=0\)

int gcd(int a, int b,int &x,int &y) {
      if (b == 0) {
      x = 1, y = 0;
      return a;
      }
      int ans = gcd(b, a % b, x, y);
      int temp = x;
      x = y;
      y = temp - a / b * y;
      return ans;
}
 

後續的證明正在施工中。