所謂孿生素數，就是相差為2的素數對，例如3和5,11和13。如果僅僅是100以內的孿生素數，相信大部分人只用數就能數出來，畢竟100以內只有25個素數。但是如果是1000以內呢？100000以內呢？如果像題目中說的一樣，一億以內呢？

硬著頭皮數顯然不行了，要解決這個問題，我們要依賴於程式設計。

要求孿生素數的對數，首先要找到孿生素數，要找到孿生素數，首先要找到素數。C++中有許多找素數的方法，比如基礎的試除法，其程式碼如下：

bool prime(int n) 
{
    if(n<2)  return false;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        
 
if(n%i==0)  return false;
    }
    return true;
}

這段程式碼比較基礎，也很容易理解。

完整程式如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,cnt; //cnt記錄孿生素數對數 
bool prime(int n)  //試除法篩素數 
{
    if(n<2)  return false;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        
 
if(n%i==0)  return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(prime(i)&&prime(i+2))  //判斷是否滿足孿生素數定義 
        {
            cnt++;
        }
    }
    printf("%d\n",cnt);return 0;
}

一切都很順利的進行了，我們不禁暗想：

孿生素數，就這？？？

然而，當輸入“100000000”時，奇怪的事情發生了，答案久久沒有出現在小黑板上，只有游標在閃動著寂寞的白光，宛若孤獨而無人陪伴的我

這令人疑惑，於是我關閉了視窗，重新執行，並輸入了較小的數。答案几乎是在敲回車後的一剎那出現在小黑板上。

這說明程式沒有問題，輸入“100000000”答案遲遲不出現，只有一個可能——程式在運算結果。

既然如此，那我們能做的就只有等待。

終於，在不知多久之後，小黑板上終於出現了我們所希望看到的東西——440312。

雖然得到了結果，但比起這個，我們更想知道它到底算了多久，於是我在程式中加入了從百度抄來的計時程式，如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<time.h>  //標頭檔案 
using namespace std;
clock_t start,finish;  //定義始終 
double duration;  //定義時間 
int n,cnt; 
bool prime(int n)  
{
    if(n<2)  return false;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)  return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    start=clock();  //在程式開始執行時開始計時，注意，若將這句話加在輸入之前，會把輸入資料的時間記入，影響結果 
    for(int i=2;i<=n-2;i++)
    {
        if(prime(i)&&prime(i+2))  
        {
            cnt++;
        }
    }
    finish=clock();  //結束計時 
    duration=(double)(finish - start)/CLOCKS_PER_SEC;  //計算時間 
    printf( "%f seconds\n",duration);  //輸出時間    
    printf("%d\n",cnt);return 0;
}

當輸入“10000”，運算時間為0.002000s，輸入“1000000”，運算時間為0.310000s，兩次運算時間並沒有差很多。

但輸入“100000000”，在又一次漫長的等待後，小黑板上出現了驚人的149.797000s，是計算1000000以內的孿生素數對數所用時間的約483倍。

這可怕的數字令我們感到恐懼，若是資料範圍再大一些，試除法豈不是要算一年!

看來資料太大，用試除法求解是行不通了，我們需要的是效率更高的演算法。

提到高效演算法，聰明的你一定能想到Eratosthenes篩選法，翻譯成人話就是埃氏篩。

埃氏篩的基本思想：素數的倍數一定不是素數。先假設所有數都是素數，從小到大列舉每一個素數x，把x的倍數都標記為非素數。當從小到大掃描到一個數x時，若它尚未被標記，則它不能被2~x-1之間的任何數整除，該數就是素數。（對整數1特殊處理）

埃氏篩程式碼如下：

void primes(int n)
{
    memset(v,0,sizeof(v)); //合數標記 
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(v[i])  continue;    
        cout<<i<<endl;  //i是素數 
        for(int j=i;j<=n/i;j++)
        {
            v[i*j]=1;
        }      
    }
}

埃氏篩的時間複雜度是O（nloglogn），效率非常接近線性，是一種常用的素數篩法。然而，埃氏篩會對合數進行重複標記，即使是優化之後，其根本原因是演算法不能唯一確定產生合數的方式。據此，我們在生成一個需要標記的合數時，每次只向現有的數乘上一個質因子，並且讓它是這個合數的最小質因子。這相當於讓合數的質因子從大到小累積。具體來說，我們採用如下的篩法：

int v[maxn],prime[maxn]; 
void primes (int n) //用線性篩找素數 
{
    memset(v,0,sizeof(v)); //最小質因子 
    m=0; //素數數量 
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!v[i]) //i是質數 
        {
            v[i]=i;
            prime[++m]=i;
        }
                            //給當前的數i乘上一個質因子 
        for(int j=1;j<=m;j++)
        { 
                            //i有比prime[j]更小的質因子，或者超出n的範圍 
            if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i)  break;
                            //prime[j]是合數i*prime[j]的最小質因子 
            v[i*prime[j]]=prime[j];
        }
    }
}

這便是線性篩。每個合數只會被它的最小質因子篩一次，時間複雜度為O（N）。

篩法介紹完了，求孿生素數對的程式也就不難寫了，只需要判斷與一個素數相差2的數是否為素數即可。這個任務交給讀者自行完成。

下面我簡要說一下測評結果。

這是使用線性篩求對數並輸出孿生素數對的執行結果，總共跑了173.793000s，若僅僅輸出對數，只需要1.410000s，比試除法快了近107倍。

埃氏篩也不敢示弱，跑出了178.203000s和3.105000s的不俗成績。

（順便一提，用試除法求孿生素數對，如果要輸出孿生素數是什麼，它需要跑約328s）

相比於基礎的試除法，這兩種演算法的效率都高得沒話說。

正所謂，永恆與剎那間，只隔著我的演算法。既然有演算法能幾秒內解決問題，那為什麼不用呢？多節約出幾分鐘，不就能多聽幾首銀臨的歌了嗎。

所以，下次有個要求素數的題，嘗試用埃氏篩和線性篩吧。

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