二次曲線教案
阿新 • • 發佈：2022-05-17
一元二次方程的根與曲線交點問題教案
教學目的：帶學生體會代數方程與幾何之間的聯絡
我們知道，一元二次方程在實數範圍內根的情況有0,1,2個根，直線與圓的交點個數有0,1,2個，實際上這並非巧合，在這裡我不做過多贅述。我們需要給同學展示代數與幾何之間聯絡。代數方程的解對應著曲線的交點，從幾何角度可以處理方程的根，通過方程限制係數，另一方面通過方程的解來判斷交點情況。
本節課開始需要敘述明白“一元二次方程的根對應圓與直線交點”
最後要丟擲問題“同為二次曲線，為什麼圓與圓的交點最多隻有兩個，橢圓與橢圓的交點可以有四個？並給出幾何方向證明，以及代數方程角度證明。”
思考問題“什麼樣的橢圓交點至多有兩個”
老師向大家提供了“二次曲線，圓與圓的交點至多隻有兩個的幾何方向證明與代數方向證明”供大家思考揣摩，思考代數方程與幾何互相解決問題的美妙。
- 圓與圓至多隻有兩個交點的幾何證明
Proof反證法，
不妨假設兩圓交點有三個A、B、C如圖，設兩圓圓心分別為O、P半徑分別為r，R
那麼OA=OB=OC=r，PA=PB=PC=R，
△AOP全等於△BOP全等於△COP（SSS）
假設B落在OP右側，∠POB=∠POC（全等三角形對應角相等）
那麼B與C重合，矛盾。
- 圓與圓至多隻有兩個交點的代數證明
Proof為簡便起見，不妨設一個圓為圓心在原點的單位圓，兩圓的方程為
假設兩式子聯立存在三個解，那麼方程
最後，請同學們思考什麼時候，橢圓與橢圓交點至多為四個，什麼時候橢圓與橢圓交點至多為兩個？（我們只思考長軸互相平行的橢圓，提示：考慮離心率）