Description

有一張 $n\times m$的數表，其第 $i$行第 $j$列（$1\leq i\leq n,1\leq j\leq m$）的數值為能同時整除 $i$和 $j$的所有自然數之和。給定 $a$，計算數表中不大於 $a$的數之和。

Solution

先無視a的限制,令$T=dx,g(x)=\sum_{d|T} \sigma(d) \mu(\frac Td)[d \leq a]$

\begin{equation}
\begin{aligned}
& \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sigma(gcd(i,j))\\
= & \sum_{d=1}^n \sum_{i=1}^{\lfloor \frac nd \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac md \rfloor}[gcd(i,j)=1]\sigma(d)\\

= & \sum_{d=1}^n \sigma(d) \sum_{x=1}^{\lfloor \frac nd \rfloor} \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{dx} \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{dx} \rfloor}\mu(x)\\
= & \sum_{d=1}^n \sigma(d) \sum_{x=1}^{\lfloor \frac nd \rfloor}\mu(x) \lfloor \frac{n}{dx}\rfloor \lfloor \frac{m}{dx} \rfloor\\
= & \sum_{T=1}^n \lfloor \frac nT \rfloor \lfloor \frac mT \rfloor \sum_{d|T} \sigma(d) \mu(\frac Td)\\
= & \sum_{T=1}^n \lfloor \frac nT \rfloor \lfloor \frac mT \rfloor g(T)
\end{aligned}
\end{equation}

將所有詢問離線下來，以a排序，因為$\sigma(d)$僅在$d\leq a$時有貢獻，所以每次處理時隨著a的增大有一些d加入了貢獻，使用樹狀陣列統計答案。

取模自然溢位

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace
 
 std;
int q,tree[100005],sig[100005],mu[100005],prime[100005],tot,cnt=1,ans[20005];
bool vst[100005];
struct Node
{
    int n,m,a,id;
}node[20005];
struct S
{
    int d,v;
}s[100005];
inline int read()
{
    int f=1,w=0;
    char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return f*w;
}
bool cmp(Node x,Node y)
{
    return x.a<y.a;
}
bool cmp2(S x,S y)
{
    return x.v<y.v;
}
int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}
int add(int pos,int v)
{
    while(pos<=100000)
    {
        tree[pos]+=v;
        pos+=lowbit(pos);
    }
}
int query(int pos)
{
    int ret=0;
    while(pos)
    {
        ret+=tree[pos];
        pos-=lowbit(pos);
    }
    return ret;
}
int main()
{
    for(int i=1;i<=100000;i++)
        for(int j=i;j<=100000;j+=i)
            sig[j]+=i;
    for(int i=1;i<=100000;i++)
        s[i]=(S){i,sig[i]};
    sort(s+1,s+100001,cmp2);
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=100000;i++)
    {
        if(!vst[i])
        {
            prime[++tot]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=100000;j++)
        {
            vst[i*prime[j]]=true;
            if(!(i%prime[j]))
                break;
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    q=read();
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        node[i]=(Node){read(),read(),read(),i};
        if(node[i].n>node[i].m)
            swap(node[i].n,node[i].m);
    }
    sort(node+1,node+q+1,cmp);
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        int N=node[i].n,M=node[i].m;
        for(;s[cnt].v<=node[i].a&&cnt<=100000;cnt++)
            for(int j=s[cnt].d;j<=100000;j+=s[cnt].d)
                add(j,s[cnt].v*mu[j/s[cnt].d]);
        for(int j=1;j<=N;)
        {
            int k=min(N/(N/j),M/(M/j));
            ans[node[i].id]+=(N/j)*(M/j)*(query(k)-query(j-1));
            j=k+1;
        }
    }
    for(int i=1;i<=q;i++)
        printf("%d\n",ans[i]&((1<<31)-1));
    return 0;
}

[SDOI2014]數表