前置知識

二叉樹

定義

基本操作複雜度： $ O(logn) $

線段樹是一棵二叉樹，每個節點表示序列上的一段區間，其中根節點表示區間[1,n]。

從根節點開始，只要區間長度不為1，就將區間劃分為兩半，並分給兩個子節點。

若當前節點表示區間[l,r]，

當l≠r時，左孩子表示[l,(l+r)/2]，右孩子表示[(l+r)/2+1,r]；

當l=r時，該節點為葉子節點。

基本性質

性質1

線段樹的總節點數為2n-1。

性質2

線段樹的層數約為 $ log_{ 2 } n $ ，即每個葉節點到根節點的距離約為 \(log_{2}n\) 。

性質3

任何區間都可以用不超過 \(2log_{2}n\)

編號

線段樹的編號方式通常有兩種：即2i和2i+1作i的孩子或按構建順序編號。

儲存

線段樹的儲存也有兩種方式：多個數組或struct結構體。

以struct結構體陣列為例:

（lc,rc分別為左右孩子的編號，sum為該區間的總和。

陣列大小為序列長度兩倍。

至於區間的左右端點[l,r]，可以儲存，也可以遞迴時計算。

若需要節省空間，則不儲存。）

構建

構建過程遞迴實現，

void build(int u,int l,int r)

（u為當前節點編號，l,r為區間端點）

從根節點開始構建，遞迴時計算並代入l,r，若l=r，該點為葉子節點，令sum=序列原值，否則，遞迴構建左右孩子，之後令sum=sum左孩子+sum右孩子。

在主程式中：

t=1;

build(1,1,n);

即可。

應用

單點修改

修改過程遞迴實現，

void update(int u,int l,int r,int x,int w)

（u當前節點編號,l和r為區間端點，x為要修改的位置，w為變化量）

從根節點開始修改，若當前點為葉子節點，使sum+=w並返回
否則判斷x在左孩子還是右孩子，遞迴進行修改，之後令sum=左孩子sum+右孩子sum。

在主程式中呼叫：

update(1,1,n,x,y);

區間和查詢

查詢過程遞迴實現，

void query(int u,int l,int r,int ll,int rr)

（u為當前節點，l和r是區間端點，ll和rr分別為所查詢區間的左右端點）

需要用外層定義變數ans儲存答案。

從根節點開始，首先判斷查詢區間與節點區間是否完全重合，若重合，ans+=sum並返回，否則判斷查詢區間是否完全在左孩子或者右孩子，若是則遞迴查詢。否則將查詢區間拆分，兩側分別遞迴查詢。

在主程式中：

ans=0;

query(1,1,n,x,y);

維護區間最大值/最小值

區間修改

我們線上段樹的每個節點上再儲存一個資訊，稱為“標記”，記為tag，表示該節點所包含的每個位置，都要再加上tag。

首先，像區間詢問一樣將區間對應到儘量少的節點上，

令它們

	sum+=(r-l+1)*w;//增加的區間和
	tag+=w;//增加標記 

然後將sum資訊向上pushup。

區間修改後的單點/區間查詢

查詢與之前類似，

查詢過程遞迴實現，

void query(int u,int l,int r,int ll,int rr,int w)

但由於標記的出現，多了“下傳標記”一步。

下傳標記時，孩子的標記要疊加。

類似於pushup，標記下傳的過程寫入一個

void pushdown(int u,int l,int r)

注

一個節點上的tag一定已經計入自身的sum。

在修改和查詢時，只要需要進入子節點，就一定要pushdown。

注意

當維護資訊較多時，為簡化程式碼，通常將類似於”a[u].sum=a[a[u].lc].sum+a[a[u].rc].sum”的上傳資訊的步驟寫入void pushup(int u)並呼叫pushup(u);

並非原創，僅是整理，請見諒