洛谷 P2015 二叉蘋果樹

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題目描述

有一棵蘋果樹，如果樹枝有分叉，一定是分2叉（就是說沒有隻有1個兒子的結點）

這棵樹共有N個結點（葉子點或者樹枝分叉點），編號為1-N,樹根編號一定是1。

我們用一根樹枝兩端連線的結點的編號來描述一根樹枝的位置。下面是一顆有4個樹枝的樹

2   5
 \ / 
  3   4
   \ /
    1

現在這顆樹枝條太多了，需要剪枝。但是一些樹枝上長有蘋果。

給定需要保留的樹枝數量，求出最多能留住多少蘋果。

輸入格式

第1行2個數，N和Q(1<=Q<= N,1<N<=100)。

N表示樹的結點數，Q表示要保留的樹枝數量。接下來N-1行描述樹枝的資訊。

每行3個整數，前兩個是它連線的結點的編號。第3個數是這根樹枝上蘋果的數量。

每根樹枝上的蘋果不超過30000個。

輸出格式

一個數，最多能留住的蘋果的數量。

題解：

一道樹上揹包的題。

這個問題符合多階段決策問題的定義，又加入了樹狀結構，所以是一道樹形DP的題。那麼我們嘗試著設定狀態：\(dp[i][j]\)表示以\(i\)為根的子樹留下\(j\)條樹枝之後的最多蘋果數。那麼我們發現，這和揹包問題很像：因為給出了一共只能留下多少條樹枝的限制。所以樹枝數目就是揹包體積，蘋果數目就是揹包價值：變成了樹形揹包的問題。而且是0/1揹包。

分析到這裡之後，便可以設計轉移來解決這個問題了。

程式碼：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=110;
int n,q;
int dp[110][110];
//dp[i][j]表示以i為根的子樹上留下j根樹枝後最多能保留多少蘋果
int to[maxn<<1],head[maxn],nxt[maxn<<1],val[maxn<<1],size[maxn],tot;
void add(int x,int y,int z)
{
    to[++tot]=y;
    nxt[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
    val[tot]=z;
}
void dfs(int x,int fa)
{
    size[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(y==fa)
            continue;
        dfs(y,x);
        size[x]+=size[y];
        for(int j=min(q,size[x]);j;j--)
            for(int k=min(size[y],j-1);k>=0;k--)
                dp[x][j]=max(dp[x][j],dp[x][j-k-1]+dp[y][k]+val[i]);
    }
}
int main()    
{
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
    dfs(1,0);
    printf("%d",dp[1][q]);
    return 0;
}