Lucas 定理

組合數取模 3 （適用於模數較小且為素數，組合數較大的情況）

Lucas 定理

給定 n, m, p, p 為素數

把 n, m 拆解為 p 進位制

當 \(a<b,\;\;\tbinom {a}{b}=0\)

時間複雜度：

預處理階乘和階乘逆元：\(O(p)\)

求單個組合數 \(O(logn)\)

應用：

1. 求 p 很小且為素數的組合數
2. p == 2 時，若 \(\tbinom nm \mod 2 ==1\), 則 必須 \(n_i>=m_i\), 因為取值只有 0 和 1，所以必須 \(m_i\) 為 1 時 \(n_i\) 也要為 1，即 (n & m) == m
3. 數位 dp 相關
4. 若 \(\tbinom {a+b}a \mod p \neq 0\), 則 \(a+b\) 在 \(p\) 進位制加法中不進位

組合數取模3 - 題目 - Daimayuan Online Judge

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 10;
int p;
ll n, m;

ll fac[N], fnv[N];
ll qmi(ll a, ll b)
{
	ll ans = 1;
	while(b)
	{
		if (b & 1)
			ans = ans * a % p;
		b >>= 1;
		a = a * a % p;
	}
	return ans % p;
}

void presolve()
{
	fac[0] = fnv[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= N - 10; i++)
	{
		fac[i] = fac[i-1] * i % p;
		fnv[i] = qmi(fac[i], p - 2);
	}
}

ll C(ll n, ll m)
{
	if (m < 0 || n - m < 0)
		return 0;
	return fac[n] * fnv[m] % p * fnv[n-m] % p;
}


int main()
{
	int T;
	scanf("%d%d", &p, &T);
	presolve();
	while(T--)
	{
		scanf("%lld%lld", &n, &m);
		ll ans = 1;
		while(n > 0 || m > 0)
		{
			ans = ans * C(n % p, m % p) % p;
			n /= p, m /= p;
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}	
	return 0;
}