組合數學

排列與組合

抽屜原理（鴿巢原理）

把n+1個蘋果放入n個抽屜裡，則至少有一個抽屜放了兩個或兩個以上的蘋果；

從另一個角度來說，把n-1個蘋果放入n個抽屜，則至少有一個抽屜是空的。

如果每個抽屜代表一個集合，每一個蘋果就可以代表一個元素。

假如有n+1個元素放入n個集合，其中必定有一個集合裡至少有兩個元素；

把n-1個元素放入n個集合，則至少有一個集合是空的。

通常來說，在問題中，較多的一方就是蘋果，較少的一方就是抽屜。

最差原則

即考慮所有可能的情況中，最不利於某件事情 發生的情況。

容斥原理

基本計數原理

分類加法計數原理

做一件事，完成它有 \(n\) 類方法，第一類有 \(m_{1}\)

特點

分類加法計數原理與分類有關，各種方法相互獨立，用其中任一方法都可以完成這件事。

特點是分類獨立完成，分類計數。

分步乘法計數原理

做一件事，完成它需要 \(n\) 個先後步驟，做第一步有 \(m_{1}\) 種不同的方法，做第二步有 \(m_{2}\) 種不同的方法，……，做第n步有 \(m_{n}\) 種不同的方法，那麼完成這件事共有 \(s=m_{1}×m_{2}×…m_{n}\) 種不同的方法。

特點

分步乘法計數原理與分步有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成。

特點是分步依次完成，分步計數。

區別

加法原理是“分類完成”，乘法原理是“分步完成”。

排列與組合

定義

階乘

\(n!=1×2×…×n\)

\(\left( 0!=1 \right)\)

排列

從n個不同元素中任取m(m<=n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

對於第一個位置，我們有n種選擇；第二個位置，有(n-1)種選擇；……；第m個位置，有(n-m+1)種選擇；所以，

方案數 \(=n(n- 1)…(n-m+1)\)，即

當 \(m=n\) 時，有 \(A^{n}_{n}=n!\) ，稱為 \(n\) 的全排列（n個不同元素全部取出的排列）；

而 \(0<m<n\) 的情況，則稱為選排列。

組合

從n個不同元素中，任意取出m(m<=n)個元素併成一組，叫做從n個不同元素中任意取出m個元素的一個組合。

我們考慮從n個物品中選出m個物品的排列，由於在組合中不考慮順序性，所以每一種組合在排列中重複出現了 \(m!\) 次，所以只需要將排列數除以m!，即

區別

取出的元素與順序有關的為排列問題，與順序無關的為組合問題。

公式

該公式是二項式定理，可以證明第三個公式。

Lucas定理

用於求解大組合數取模的問題，其中模數必須為素數。

n%p和m%p一定是小於p的數，可直接求解；

\(C^{m/p}_{n/p}\)可繼續用lucas定理求解。這也要求p的範圍不能太大，<=\(10^{5}\)左右。

邊界條件：當m=0時返回1，即， \(lucas(x,0,p)=1\)

楊輝三角

(a+b)n展開式的二項式係數：

性質

性質1

每行兩端都是1，每個數都等於它“肩上”的兩個數的和。

性質2

每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個數相等。

性質3

如果二項式的冪指數\(n\)是偶數，則展開中間項\(T_{n/2+1}\)的二項式係數最大；如果\(n\)是奇數，展開的中間兩項\(T_{(n+1)/2}\)和\(T_{(n+1)/2+1}\)的係數最大。

性質4

二項式每行的係數和等於2n。

組合數求解

用組合數遞推公式求解。

複雜度\(O(n^{2})\)

初始條件：

組合數學相關

錯排、圓排列

基礎數論

取整

x是一個實數，floor(x)為對x向下取整，ceil(x)為對x向上取整。

在c++中，整型變數的除法都是整除的。我們一般考慮除 數為正的情況。若被除數為正，則向下取整；為負則向上取整。

總結，向絕對值小的方向取整。

下取整符號 $\left \lfloor \right \rfloor $

上取整符號 $\left \lceil \right \rceil $

取模

a對b取模得到的結果就是a除以b的餘數，記作a mod b。

\(x≡y(\) % \(p)\) 表示x與y對p取模的結果相等，稱為同餘。

性質

假設x≡y(%p)

x+a≡y+a(%p)

x-a≡y-a(%p)

ax≡ay(%p)

(a+b)%p=(a%p+b%p)%p

(a-b)%p=(a%p–b%p)%p

(a-b)%p=(a-b+p)%p

ab%p=(a%p)(b%p)%p

最大公約數（gcd）/最小公倍數（lcm）

如果a%x=0，我們稱x是a的約數(或因數)，稱a是x的倍數。

a與b的最大公約數，是指一個最大的整數x，使得x同時是a和b的約數。

我們將a與b的最大公約數記作gcd(a,b)。

性質

lcm(a,b)=ab/gcd(a,b)

gcd(a,b,c)=gcd(gcd(a,b),c)

lcm(a,b,c)=lcm(lcm(a,b),c)

歐幾里得演算法（輾轉相除法）

時間複雜度為log級。

演算法公式

證明

質數（素數）

一個大於1的自然數，除了1和它本身外，不能被其他自然數整除，這樣的數稱為質數，否則稱為合數。

逆元

對於正整數a，b，如果能找到正整數x使得 \(ax≡1(\) % \(b)\) ，我們稱x是a在模b意義下的逆元。

在這裡，實際上a與x互為模b意義下的逆元。

由同餘方程可知，a在模b意義下存在逆元，當且僅當gcd(a,b)=1，即a與b互質。

在取模的意義下是不能直接作除法的，但利用逆元則可以。

在模意義下，除以一個數，相當於乘上這個數的逆元；或者說乘以一個數，等於除以這個數的逆元。

概率和數學期望

概率

某個事件A發生的可能性的大小，稱之為事件A的概率，記作P(A)。

假設某事的所有可能結果有n種，事件A涵蓋其中的m 種，那麼P(A)=m/n。

如果兩個事件A和B所涵蓋的結果沒有交集（互不相容），那麼P(A或B發生)=P(A)+P(B)。

如果A和B所涵蓋的結果有交集，那麼P(A或B發生)=P(A)+P(B)-P(A與B同時發生)。

記事件B為“事件A不發生”（事件A的對立事件，事件B發生則事件A不會發生）那麼P(A)+P(B)=1，即P(B)=1-P(A)。

在兩個互不干擾的事中，事件A在其中一件事中，事件B在另外一件事中（獨立事件，事件A發生跟B的發生沒有關係），那麼P(A與B同時發生)=P(A)×P(B)。

數學期望

事件A有多種結果，記其結果為x，那麼x的期望值表示事 件A的結果的平均大小，記作E(x)。

E(x)=每種結果與其概率的乘積的和

記兩個事件的結果分別為x、y，那麼，E(x+y)=E(x)+E(y)

若兩個事件互相獨立，那麼，E(xy)=E(x)·E(y)

若c為常數，那麼，E(x+c)=E(x)+c，E(cx)=c·E(x)

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