1. 整除

1.1 定義

若 \(a,b\in \mathbb Z\) 且存在 \(q\in \mathbb Z\) 使得 \(b=aq\)，則稱 \(a\) 整除 \(b\)，記做 \(a\mid b\)。\(a\) 不整除 \(b\) 記做 \(a\nmid b\)
若 \(a,b\in \mathbb Z\) 且 \(a\mid b\)，則我們稱 \(a\) 是 \(b\) 的約數/因數/因子，\(b\) 是 \(a\) 的倍數。

1.2 性質

1. \(a\mid b,b\mid c\Rightarrow a\mid c\)（傳遞性）。
2. \(a\mid b,a\mid c\Leftrightarrow \forall x,y\in \mathbb Z,a\mid bx+cy\)
   （線性組合）。

證明：

1. 因 \(a\mid b\)，則存在 \(q_1\in \mathbb Z\) 使得 \(aq_1=b\)（定義），同理存在 \(q_2\) 使得 \(bq_2=c\)，代入得 \(aq_1q_2=c\)，即得 \(a\mid c\)。
2. 先證引理
   引理 1：\(a\mid b\Rightarrow a\mid bx\)
   證明：由定義得存在 \(q\in \mathbb Z\) 使得 \(aq=b\)，代入，\(a\mid aqx\)，證畢。
   引理 2：\(a\mid b\Rightarrow \forall x\in \mathbb Z,a\mid b+xa\)。
   證明：由定義得存在 \(q\in \mathbb Z\)
   使得 \(aq=b\)，代入，\(\forall x\in \mathbb Z,a\mid aq+xa\Rightarrow \forall x\in \mathbb Z,a\mid a(q+x)\)，證畢。
   有了引理，命題就很顯然了，先用 1 再用 2 就證出來了。

1.3 拓展

1.3.1 素數

1.3.1.1 定義

若一個正整數 \(q\) 只有 \(1\) 和 \(q\) 兩個因子，則稱 \(q\) 為素數（Prime）。

1.3.1.2 分解質因數/分解素因子

算術基本定理：對於所有 \(a\in \mathbb N^+\)，\(a\) 均可被唯一的分解為 \(a=\sum\limits_{i=1}^O p_i^{r_i}\)

1.3.2 GCD & LCM

1.3.2.1 定義

若 \(a_1,a_2\) 是兩個不全為 \(0\) 的整數，若 \(d\mid a_1\) 且 \(d\mid a_2\)，我們則稱 \(d\) 為 \(a,b\) 的公約數，我們將最大的 \(d\) 稱為 \(a_1,a_2\) 的最大公約數（GCD），數學上一般記做 \((a_1,a_2)\)，OI 裡一般記做 \(\gcd(a_1,a_2)\)。
若 \(\gcd(a_1,a_2)=1\)，則稱 \(a_1,a_2\) 互素/互質。

若 \(a_1,a_2\) 是兩個不全為 \(0\) 的整數，若 \(a_1\mid l\) 且 \(a_2\mid l\)，我們則稱 \(l\) 為 \(a,b\) 的公倍數，我們將最小的 \(l\) 稱為 \(a_1,a_2\) 的最小公倍數（LCM），數學上一般記做 \([a_1,a_2]\)，OI 裡一般記做 \(\operatorname{lcm}(a_1,a_2)\)。

1.3.2.2