張量積（tenser product）

引入：我們已經瞭解了從線性空間\(U\)到\(V\)的所有線性對映\(\sigma\)組成的線性空間。那麼思考這樣一個問題：現在有三個線性空間\(U,V,W\)，我們要考慮從\(U\times V\)到\(W\)的線性對映，即\(L(U\times V,W)=\{\sigma\}\)，其中\(\sigma\)滿足\(\forall u_1,u_2,u\in U,v_1,v_2,v\in V,k\in F\)

\[\begin{cases}1. \sigma (u_1+u_2,v)=\sigma(u_1,v)+\sigma(u_2,v)\\2.\sigma(u,v_1+v_2)=\sigma(u,v_1)+\sigma(u,v_2)\\3.k(\sigma(u,v))=\sigma(ku,v)=\sigma(u,kv) \end{cases} \]

是不是有點像雙線性型？區別在於將考慮了不止一個雙線性型，以及輸出不是個數，是個向量。（好吧其實輸出是啥並不重要？）

*這玩意兒叫雙線性對映來著。。

補充一條性質（很顯然。。但不知道為啥我看這玩意兒的時候一下子忘了）：\(\sigma(u,0)=\sigma(0,v)=0\)

既然考慮的不止一個，那麼這些之間的關係（為了湊線性空間）有：

\[\begin{cases}4.(\sigma_1+\sigma_2)(u,v)=\sigma_1(u,v)+\sigma_2(u,v)\\5.(k\sigma)(u,v)=k (\sigma(u,v))\end{cases} \]

於是我們(強硬地)構造出了這麼一個空間，那麼它的維數是？因為是\(U\times V\)，所以是\(n+m\)維空間咯？（令\(\dim U=n,\dim V=m\)

）其實不是。。（廢話是的話也不用再單獨考慮了）

不妨取\(n=m=1\)那麼有\(U=V=R\)，不妨令\(W\)也為\(R\)好了（從上面的限制來看，\(W\)其實是任意的）。然後我們可以從中任意找一個\(\sigma\)，如果有\(\sigma(1,1)=t\)那麼有\(\sigma(u,v)=u\sigma(1,v)=uvt\).於是所有\(\sigma\)對應了唯一的一個\(t\)，換句話說，這個\(L\)其實是1維的。

於是我們猜測，這玩意兒是\(nm\)維的。。為了讓它看起來“顯然”一點，我們希望找到一個\(Hom(X,W)\)與它同構。\(X\)是我們要去找的空間。

先來看看X有哪些性質：

首先因為有\(u,v\)兩個因素，所以X中肯定包含有\(u,v\)，我們不妨寫成\((u,v)\)的形式，看成\(F[U\times V]\)，即以\(U\times V\)線性張成的空間。注意這裡所有的(u,v)定義為一個基向量，沒有所謂的\((u_1+u_2,v_1+v_2)=(u_1,v_1)+(u_2,v_2)\)和\(k(u,v)=(ku,kv)\)，然後\(F[U\times V]\)是由這裡面所有的基向量線性張成的線性空間。（顯然是無窮維的）

我們令\(\sigma\in Hom(X,W)\)，那麼\(\sigma(u,v)=w\)，且\(\sigma\)同樣滿足1-5條。而我們希望讓\(Hom\)的\(Ker\)為\(\{0\}\)，那麼\(X\)就不可以直接等於\(U\times V\)，而需要讓它商掉對映為\(0\)的子空間\(I\)，即由\((u_1+u_2,v)-(u_1,v)-(u_2,v),(u,v_1+v_2)-(u,v_1)-(u,v_2),k(u,v)-(ku,v)-(u,kv)\)，其中\(u,u_1,u_2\in U,v,v_1,v_2\in V,k\in F\)，所有這些向量張成的線性空間（顯然也是無窮維）。令\(X=(U\times V)/I\)，那麼就是我們需要的空間，記作\(U\otimes V\)。顯然\(X\)就是我們需要找的空間，因為\(Hom(X,W)\)（通過強行商掉某個空間）滿足1-3條性質，由\(Hom\)本身的性質所以滿足4-5。我們同時定義\(u\otimes v=(u,v)+I\).

不妨看一看\(\otimes\)有什麼性質。看上去好像可以有線性：1.\((u_1+u_2)\otimes v=(u_1+u_2,v)+I\)(因為有\((u_1+u_2,v)-(u_1,v)-(u_2,v) \in I\),)\(=(u_1,v)+(u_2,v)+I=u_1\otimes v+u_2\otimes v\)，同理也有2.\(u\otimes(v_1+v_2)=u\otimes v_1+u\otimes v_2\) 。那麼3.\((ku)\otimes v=k(u\otimes v)=u\otimes (kv)\) 也由\(k(u,v)-(ku,v)-(u,kv)\)顯然成立。於是順水推舟，有

Thm.1如果\((u_1,\cdots,u_m)\)是空間\(U\)的一組基，\((v_1,\cdots,v_n)\)是空間\(V\)的一組基，那麼有\((u_i\otimes v_j)\)是\(U\otimes V\)的一組基。

證明：顯然。。。有\(\forall u\otimes v=(\sum k_iu_i)\otimes (\sum t_iv_i)=\sum k_i t_j u_i\otimes v_j\).

所以有\(\dim(U\otimes V)=mn\)即最初構造的\(L\)是\(mn\)維的。

所以對兩個空間做張量積是在做啥？相當於是將分別在各自空間存在的線性關係組合起來。我們可以用所有\(m\times n\)的矩陣構成的空間來表示\(U\otimes V\)，方法是\(A\in F^{m\times n}\),對應\(a=\sum a_{ij}u_i\otimes v_j\)。至於這究竟是個怎麼樣的向量。。不知道（是不是向量我都不知道

顯然由構造\(U\otimes V\)的方法，我們有
Thm.2\(L(U\times V,W) \cong Hom(U\otimes V,W)\)

Hint 定義\(\overset {\sim} {f}(\sum u_i\otimes v_j)=\sum f(u_i,v_j)\)

Prop.1\(Hom(U\otimes V,W)\cong Hom(U,Hom(V,W))\)

由Thm.2，且注意到從\(U\times V\)到\(W\)的雙線性對映是\((u,v)\)共同決定了一個\(w\)，那麼我們也可以看做是\(u\)決定了一個\(v\)到\(w\)的對映。線性性顯然。得證。

Prop.2 \((\bigoplus U_i)\otimes V\cong \bigoplus (U_i\otimes V)\)

通過矩陣來看的話就相當於把多個矩陣豎著拼起來。

Prop.3 \((U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W)\)

略

那麼下面考慮稍稍一點複雜的東西：

\(Hom(U_1\otimes U_2,V_1\otimes V_2)\)和\(Hom(U_1,V_1)\otimes Hom(U_2,V_2)\).

我們好像還沒定義過\(Hom\)之間的tenser product，不過照著線性空間的理解，給兩個\(Hom\)分別找一組基，然後tenser一下就好了。（反正\(Hom\)也是個線性空間，嗯）

稍稍考慮一下的話能發現左邊的\(Hom\)是由\((u_1,u_2,v_1,v_2)\)四個毫無關聯的向量來確認的，而右邊的是通過兩個\(Hom\)的組合，一個與\(u_1,v_1\)有關，一個與\(u_2,v_2\)有關，顯然這四個之間還是毫無關聯。所以兩邊的維數顯然相等。

Thm.3\(Hom(U_1\otimes U_2,V_1\otimes V_2) \cong Hom(U_1,V_1)\otimes Hom(U_2,V_2)\).

嚴謹點來說，取\(f_1\in Hom(U_1,V_1),f_2\in Hom(U_2,V_2)\)，定義\((f_1\otimes f_2)(u_1\otimes u_2)=f_1(u_1)\otimes f_2(u_2)\) 可以看出這是一個自然的將\(Hom(U_1,V_1)\otimes Hom(U_2,V_2)\)嵌入到\(Hom(U_1\otimes U_2,V_1\otimes V_2)\)裡去的方法。

如果我們取\(U\)一組基\((u_1，\cdots,u_m)\)，\(U=\bigoplus Fu_i\)，類似令\(V=\bigoplus Fv_i,(1\leq i\leq n)\)。那麼有\(Hom(U_1,V_1)\otimes Hom(U_2.V_2)=(\bigoplus_{i=1}^m\bigoplus_{j=1}^nHom(Fu_i,Fv_j))\otimes Hom(U_2,V_2)\) \(\cong Hom(U_2,V_2)\oplus\cdots\oplus Hom(U_2,V_2)\)共\(mn\)個

\(Hom(U_1\otimes U_2,V_1\otimes V_2)=Hom (U_1\otimes U_2,V_1\otimes V_2)=Hom(\bigoplus(Fu_i\otimes U_2),\bigoplus(Fv_i\oplus V))\) \(=\bigoplus\bigoplus Hom(Fu_i\otimes U_2,Fv_j\otimes V_2)\cong Hom(U_2,V_2)\oplus\cdots\oplus Hom(U_2,V_2)\)

於是二者相等。

注意到這證明取了空間的維數，所以有無限維的時候不一定成立。

Coro.1：\((U_1,V_1),(U_2,V_2),(U_1,U_2)\)其中的某一對如果維數有限，那麼有\(Hom(U_2\otimes U_1,V_1\otimes V_2) \cong Hom(U_1,V_1)\otimes Hom(U_2,V_2)\)。

有自然對映\((f\times g)(u_2\otimes u_1)=f(u_1)\otimes g(u_2)\)

Coro.2 \(U_1^{*}\otimes U_2^*\cong (U_2\otimes U_1)^*\)

注意到\(U^*\)和\(Hom(U,F)\)是一回事

Coro.3 \(U\otimes V^*\cong Hom(V,U)\)

通過構造\(\sigma(u\otimes f)(v)=f(v)u\)

Coro4.\(U,U',V,V'\)四個有限維空間，有\(U'\otimes U^*\otimes V'\otimes V^*\cong U'\otimes V'\otimes U^*\otimes V^*\cong U'\otimes V'\otimes (V\otimes U)^*\cong Hom(V\otimes U,U'\otimes V')\cong Hom(U,U')\otimes Hom(V,V')\)