給定 \(n,p,k\),詢問

\[\sum_{i=0}^n \binom n i \times p^{i} \times \left\lfloor \frac{i}{k} \right\rfloor \bmod 998244353 \]

對於 \(100\%\) 的資料，\(1 \leq n,p <998244353,k \in \{2^{w}|0 \leq w \leq 20\}\)。

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　　數學/反演/單位根反演

　　首先，考慮一個比較 easy 的問題，\(k = 1\) 怎麼做：

\[\begin{aligned} &\sum_{i = 0}^n \binom{n}{i} p^i i\\ =& \sum_{i = 0}^n \frac{n}{i} i\binom{n - 1}{i - 1} p^i\\ =& np \sum_{i = 0}^{n - 1} \binom{n - 1}{i} p^i\\ =& np (p+ 1)^{n - 1} \end{aligned} \]

　　可以直接計算。

　　整個式子中 \(\left\lfloor\frac{i}{k}\right\rfloor\) 是最煩人的，如果我們所有的 \(i \bmod k = 0\)，那麼直接將 \(k = 1\) 的答案算出來然後除以 \(k\) 即可，於是我們可將算出 \(k = 1\) 的答案，然後減去 \(\sum_{i = 0}^n \binom{n}{i}p^i (i \bmod k)\)，最後除以 \(k\)。

　　而資料範圍中的 \(k = 2^t\) 已經暗示了考慮 \(i \bmod k\) 然後進行單位根反演。

　　列舉 \(i \bmod k = d\)，有：

\[\begin{aligned} &\sum_{i = 0}^n \binom{n}{i}p^i (i \bmod k)\\ =&\sum_{d = 0}^{k - 1} d \sum_{i = 0}^n \binom{n}{i} p^i [ k | (i - d)] \\ =&\sum_{d = 0}^{k - 1} d \sum_{i = 0}^n \binom{n}{i} p^i \sum_{j = 0}^{k - 1} \omega_k^{(i - d)j}\\ =&\sum_{j = 0}^{k - 1}\left( \sum_{d = 0}^{k - 1} d\omega_k ^{-jd}\right) \left(\sum_{i = 0}^{k - 1} \binom{n}{i} p^i \omega_k^{ij}\right)\\ =&\sum_{j = 0}^{k - 1}\left( \sum_{d = 0}^{k - 1} d\omega_k ^{-jd}\right) (\omega_k^{j}p + 1)^n \\ \end{aligned} \]

　　結果卡在了第一個式子上面，這個可以考慮一個問題：

令 \(T(n, x)\) 表示 \(\sum_{i = 0}^n ix^i\)，然後有：

\[(1 - x)T(n, x) = \sum_{i = 1}^n x^i - n x^{n + 1} = \frac{\frac{1 - x^{n +1}}{1 - x} - n x^{n+ 1}}{1 - x} \]

　　於是就可以 \(\mathcal O(k \log k)\) 計算了。