重頭戲要來了嗷。這章作為準備知識，沒有一條貫穿的思路，所以我也是看一節寫一點，最後可能會再整體討論一下。

有限、可數與不可數

現代數學的一個標誌性的觀點，便是一切物件都可以視作集合。自然地，我們需要對集合進行“度量”。

回憶我們在現實世界中對長度的度量：我們有一個要測量的物件，比如一條繩子的長度；有一個測量工具，比如尺子；還需要有一個測量的方法，比如我們在小學學習的如何使用尺子（將零刻度對齊等）。我們對集合的度量基本也在做類似的事。

首先，測量物件，是任意的集合。其次，“尺子”，我們選用最基本的集合——自然數集\(\mathbb{N}\)。下面展開來說“測量方法”。我們將“尺子”寫作下面的形式，以求更形象的表達：

就像柔軟的繩子需要捋直了才能（用直尺）測量，我們也需要把集合“捋直”，或者至少讓尺子和集合能貼合，這個“貼合”的關係我們用雙射 bijection來描述：如果集合\(A\) 能與集合\(\{1,2,3,\cdots,n\}\sub \mathbb{N}\) 建立雙射關係，則稱這兩個集合等勢 equivalent ，集合\(A\) 的勢或基數 cardinal number 為\(n\)。我們將可以如此“測量”的集合稱為有限的 finite ，否則稱為無限的 infinite。

接下來就有一個更深入的問題：按照前面的定義，我們的尺子是無限“長”的，那麼有沒有和我們尺子一樣長的，甚至比尺子更長的集合呢？

我們先來回答第一個問題：是否存在集合\(A\) 與集合\(\mathbb{N}\) 等勢？當然\(\mathbb{N}\) 與自己等勢，但這是等勢的反身性 reflexive，在這裡屬於平凡的例子。按照等勢的定義，我們可以在\(\mathbb{N}\) 中隨意增加有限個元素構造新集合，這個新集合顯然與\(\mathbb{N}\) 仍然可以建立雙射關係（將原來的對應次序依次推後或提前）。進一步地，如果我們添加了無限多個元素呢？這時問題變為有限個無限集的並是否與\(\mathbb{N}\) 等勢。至少，當這裡的無限集是與\(\mathbb{N}\) 等勢時，是成立的（後面我們將看到為什麼要做這個限制）。再進一步，如果將前面的問題記為\(n\cdot\mathbb{N} \sim \mathbb{N}\)

第二個問題：是否存在無窮的集合\(B\)，與集合\(\mathbb{N}\) 不等勢？這個問題的回答也是肯定的。我們可以構造這樣的集合\(B\)，它包含了所有由\(0,1\) 組成的序列（集合\(B\) 是序列的集合）。我們可以證明，任意\(B\supset A\sim\mathbb{N}\)，\(A\) 都是\(B\) 的真子集，也即從集合的角度來看，\(A\) 是比\(B\) “小”的集合，也即\(\mathbb{N}\) 比\(B\) 小。另一方面，我們可以證明，\(\mathbb{N}\) 的任何無限子集，都和\(\mathbb{N}\) 等勢，所以可以說\(\mathbb{N}\) 是最“小”的無限集合。

總覽這兩個問題，我們似乎不得不承認，同樣是無限，有的無限比其他的無限更無限（“所有動物生而平等，但有的動物比其他動物更平等”？哈哈）。故而有必要對它們進行一個哪怕是比較粗糙的劃分：我們稱與\(和\)\(\mathbb{N}\) 等勢的無限集合為可數的 countable，稱其他無限集合為不可數的 uncountable。