非常幼稚和不嚴謹的學習筆記。

前置

闆闆

點積

點積比較簡單，即 \(a\cdot b=|a||b|\cos\theta\)，計算方式是 \(\text{dot}=x_1x_2+y_1y_2\)。然後常用的是用點積除以其中一個的模長，得到的就是另一個向量到這個向量的投影長度。根據這個投影方向和原向量的方向這玩意有正有負。這玩意顯然是符合交換律的，畢竟 \(\cos\) 的符號圓也是這樣的嘛。然後根據 \(\cos\) 的符號性質可以通過點積來判斷 \(\theta\) 和 \(90^\circ\) 的關係，如果正的話就小於，否則大於，剛好是 \(90^\circ\) 就剛好是 \(0\)。

叉積

然後是叉積。\(a\times b=|a||b|\sin\theta\)

點

旋轉

點 \((x,y)\) 繞著原點旋轉 \(\theta\) 後的點座標應該是 \((x\cdot\cos\theta+y\cdot\sin\theta,-x\cdot\sin\theta+y\cdot\cos\theta)\)

點是否線上段上

可以直接用 \(dis_{x,p}+dis_{p,y}\) 與 \(dis_{x,y}\) 做比較，但是精度可能會損失比較多。另一個方法是直接看 \(\frac{a\cdot b}{|a||b|}\) 和 \(-1\) 的關係，但同樣會損失精度。總之呢就是儘量不要去算線段長度（畢竟 \(\text{sqrt}\) 函式會大大地損失精度）。所以通過判斷共線且外開的方式來判斷，即 \(a\times b=0\) 並且 \(a\cdot b<0\)。

點到線段的距離

首先算出來 \(p\) 分別到 \(x\) 和 \(y\) 的距離，然後看兩個底角有沒有鈍角，就是看 \((p,x)\cdot (x,y)\)

點是否在直線上

和線段上同理，不需要判斷內張還是外張，充要條件就是 \(a\times b=0\)。

點到直線的垂足

先求出 \(-a\) 在 \(l\) 上的投影 \(a'\)，同理求出 \(b'\)，發現垂足到 \(x\) 的距離是 \(l\) 長度的 \(\frac{a'}{a'-b'}\) 倍，計算即可。別忘了計算投影長度的時候要把地面除掉。

點關於直線的對稱點

關於垂足對稱。略過。