咕咕了好久，指數生成函式 （EGF） 它終於來了！

前置知識

普通生成函式

多項式計數

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一些定義

指數生成函式 （EGF） 指下面這種形式的生成函式：

\[\hat A(x)=\sum_{i \ge 0} \frac{a_i}{i!}x^i \]

卷積形式：

\[\hat A(x)\hat B(x)=\sum_{i\ge 0} \frac{x^i}{i!}\sum_{j=0}^i \binom{i}{j}a_jb_{i-j} \]

這個直接把 \(i!\) 移動到後面去就好了。

有啥用

指數生成函式主要解決有標號的圖的計數問題。

在解決這個之前，我們先要解決它的封閉形式。

對於 \(a_i=1\)

，來說，它的生成函式就是：

\[\hat A(x)=\sum_{i\ge 0}\frac{x^i}{i!}=e^x \]

這個可以使用泰勒展開證明。

同理，對於 \(a_i=p^i\) 形式，那麼同理， \(\hat A(x)=e^{px}\)。

會求這個東西之後，可以來解決有標號圖計數問題。

具體作用就是，EGF 可以實現一般圖和連通圖直接的轉化。

假設 \(n\) 個點的一般圖的 EGF 是 \(\hat F\)，連通圖是 \(\hat G\)。

那麼結論是：

\[\hat F=e^{\hat G}\\ \hat G=\ln \hat F \]

這兩個直接做都是 \(O(n\log n)\)

。

考慮證明它，對第一個進行證明，考慮對於一個一般圖，列舉一下連通塊個數。

\[f_n=\sum_{i\ge 0}\frac{1}{i!}\sum_{a_1+a_2+...a_i=n}\binom{n}{a_1,a_2...,a_i}\prod_{j=1}^i g_{a_j} \]

後面的好理解，考慮前面的 \(\frac{1}{i!}\) 是啥。

考慮把每個點放到 \(i\) 個集合中的一個，那麼每個數可以隨便選，但是對於一種選法，可以把集合的編號進行隨意排列，這樣得到的計數結果會重複，所以除掉這樣的 \(i!\)。

然後直接化簡：

\[\frac{f_n}{n!}=\sum_{i\ge 0}\frac{1}{i!}\sum_{a_1+a_2+...a_i=n}\prod_{j=1}^i \frac{g_{a_j}}{(a_j)!}\\ \hat F_n=\sum_{i\ge 0}\frac{1}{i!}\sum_{a_1+a_2+...a_i=n}\prod_{j=1}^i \hat G_{a_j}\\ =[x^n] \sum_{i\ge 0}\frac{(\hat G)^i}{i!} \\ \hat F=e^{\hat G} \]

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下面是有標號計數大雜燴。

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• 有標號無根樹、森林計數。

樹直接 purfer 序列，答案是 \(n^{n-2}\)，森林的話就直接求 \(\exp\) 即可。

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• 有標號有根樹、森林計數。

樹直接 purfer 然後去定一個根，\(n^{n-1}\)，森林有一個更優美的做法，把所有根連向 \(0\)，然後就可以直接 purfer 了，答案是 \((n+1)^{n-1}\)。

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• 有標號無向圖計數。P4841

不連通直接

\[f_n=2^{\frac{n(n-1)}{2}} \]

然後轉 EGF，求 \(\ln\) 即可。

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• 有標號 DAG 計數。P6295

考慮不連通咋做，是 bzoj2863。

考慮一張 DAG 中，如果把所有入度為 \(0\) 的點扔掉，那麼必然還是一個 DAG，所以可以列舉有幾個點入度為 \(0\)，然後會發現這個東西需要容斥，式子就是：

\[f_n=\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} 2^{i(n-i)}\binom{n}{i}f_{n-i} \]

暴力做複雜度 \(O(n^2)\)，可以過上面的題。

考慮化簡。

\[\frac{f_n}{n!}=\sum_{i=1}^n \frac{(-1)^{i-1}}{i!}\frac{f_{n-i}}{(n-i)!}2^{i(n-i)} \]

此時有一個問題就是說 \(2^{i(n-i)}\) 做不了。

考慮把它變成可以用 \(i,n-i,n\) 表示的東西。

可以發現 \(2^{ab}=2^{\frac{(a+b)^2-a^2-b^2}{2}}\)，這樣就可以了。

但有一個問題，就是除二不一定可以整除，會寄，可以把 \(2\) 變成 \(\sqrt{2}\) 然後求二次剩餘，但是太麻煩了。

考慮換一下：\(2^{ab}=2^{\frac{(a+b)(a+b+1)-a(a+1)-b(b+1)}{2}}\)，此時就可以拆了。

拿去原式，變成：

\[\frac{f_n}{n!2^\frac{n(n+1)}{2}}=\sum_{i=1}^n \frac{(-1)^{i-1}}{i!2^\frac{i(i+1)}{2}}\frac{f_{n-i}}{(n-i)!2^{\frac{(n-i)(n-i+1)}{2}}} \]

此時有一個尋寶做法，直接分治 NTT 求，時間複雜度 \(O(n\log^2 n)\)。

AK 做法是，直接換成 \(F=GF+1\) 的形式，直接多項式求逆，時間複雜度 \(O(n\log n)\)。

連通的話直接求 \(\ln\) 即可。

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