樹鏈剖分

定理

• 重兒子：一個節點所有兒子中，子樹大小最大的兒子即為重兒子，如有多個，任取一個即可。
• 輕兒子：除了重兒子外的所有兒子。
• 重邊：父節點 \(\to\) 重兒子的邊。
• 重鏈：由重邊構成的極大鏈。
  如以下圖。
  

過程

\(dfs\) 序：優先遍歷重兒子，這樣就可以保證重鏈上所有點的編號連續。

如下圖，藍色數字即為求完 \(dfs\) 序後所有點的編號。

求完 \(dfs\) 序即將樹轉化成序列。

定理：樹中任意一條路徑均可拆分成小於等於 \(\log n\) 條重鏈，即可拆分成小於等於 \(\log n\) 連續區間。

將一條路徑拆分成若干條條重鏈

這個過程類似於倍增求 \(lca\)

假設求 \(x, y\) 的若干條重鏈。

如果 \(f_x > f_y\) 則先將 \(x\) 跳到該節點所在重鏈的頂部再走到他的父節點上。

如果 \(f_y > f_x\) 則先將 \(y\) 跳到該節點所在重鏈的頂部在走到他的父節點上。

其中 \(f\) 表示該節點的深度，即該節點在樹的第幾層。

最後一定會走到同一條重鏈上。

以上操作可以用線段樹/分塊/Splay 來維護。

例題

\(\mathcal Preface\)

題目傳送門

\(\mathcal Solution\)

• 操作 \(\mathit{1 \sim 2}\)：即用前述的樹鏈剖分的思想。
• 操作 \(\mathit{3 \sim 4}\)
  ：即把 \(dfs\) 序的一段連續區間求和或修改。

維護就與此題類似。