中途吃了個飯做了個核酸，壓線賽時 AK 了，希望不要掛分。

T1 子集和

題目描述

子集和問題是指，給定 \(n\) 個數字 \(a_1,a_2,\cdots, a_n\)，再給定一個目標 \(t\)，有多少種方法，能夠選出一些數字，使得它們的和等於 \(t\)。注意每個數字可以重複選擇多次。

小愛希望計算一些帶有限制的子集和問題，她想知道，對於 \(1\le i\le n\)，如果規定不能選擇 \(a_i\)，那麼還有多少種方法，可以選出一些數字，使得它們的和等於目標 \(t\)？答案對 \(10^9+7\) 取模。

\(n\le 5000, a_i,t\le 10^4\)。

大體思路

對於 \(1\le i\le n\)

記 \(f[i,j]\) 表示前 \(i\) 個數之和為 \(j\) 的方案數，\(f[0,0]=1\)。由於每個數可以重複選取，\(f[i,j]=f[i-1,j]+f[i,j-a_i]\)，其中外層迴圈 \(i=1\sim n\)，內層迴圈 \(j=0\sim m\)。

同時，記 \(g[i,j]\) 表示 \(i\) 開始之後的數之和為 \(j\) 的方案數，\(g[n+1,0]=1\)。其狀態轉移方程與 \(f\) 類似但 \(i\) 的方向相反。

容易想到，對於刪去 \(a_i\)，相當於前 \(i-1\) 個數和 \(i+1\)

這樣的做法時空複雜度均為 \(O(nt)\)，時間上能夠通過，但即使開 int 也可能 MLE，因此將 \(g\) 利用滾動陣列優化，並且算出一組 \(g\) 後立刻計算相應的 \(ans\)，這樣空間常數得到優化，用 int 可以通過。

部分程式碼

	f[0][0] = 1;
	rep(i, 1, n) {
		rep(j, 0, m) {
			f[i][j] = f[i - 1][j];
			if(j >= a[i]) f[i][j] = (f[i][j] + f[i][j - a[i]]) % mod;
		}
	}
	g[(n + 1) & 1][0] = 1;
	Rep(i, n, 1) {
		rep(j, 0, m) {
			g[i & 1][j] = g[(i + 1) & 1][j];
			if(j >= a[i]) g[i & 1][j] = (g[i & 1][j] + g[i & 1][j - a[i]]) % mod;
			ans[i] = (ans[i] + 1ll * f[i - 1][j] * g[(i + 1) & 1][m - j] % mod) % mod;
		}
	}
	rep(i, 1, n) writeln(ans[i]);
 

T2 路徑問題

題目大意

給定一張圖，有 \(n\) 個點，每個點有且只有一個後繼，第 \(i\) 個點的後繼編號為 \(t_i\)，這條邊的權重為 \(w_i\)。

給定一個整數 \(k\)，從每個點出發，沿著給定的後繼遍歷，經過 \(k\) 條邊後停止，請分別求出這些路徑上的最大權重。

\(n,k\le 5\times 10^5,\ w\le 10^9\)。

大體思路

如果你想到了許多複雜度做法，你可能已經用到了 LCA，那你為什麼沒有想到倍增呢？

倍增簡單題，如果整個圖是鏈狀，那麼顯然是 ST 表的模板。現在有了後繼，只需要一個輔助陣列。

因此，我們定義 \(f[i,p]\) 表示節點 \(i\) 出發經過 \(2^p\) 條邊得到的最大權值，\(g[i,p]\) 表示 \(i\) 的 \(2^p\) 級後繼。

那麼顯然有 \(f[i,0]=w_i,g[i,0]=t_i\)；

		f[i][p] = max(f[i][p - 1], f[g[i][p - 1]][p - 1]);
		g[i][p] = g[g[i][p - 1]][p - 1];

對於 \(k\)，列舉二進位制位，如果 \(k\) 的這一位為 \(1\)，那麼 \(f[i,p]\) 產生貢獻，並且令 \(i\) 指向 \(2^p\) 級後繼。

	read(n); read(k);
	rep(i, 1, n) read(g[i][0]);
	rep(i, 1, n) read(f[i][0]);
	int P = log(k) / log(2) + 1;
	rep(p, 1, P) {
		rep(i, 1, n) {
			f[i][p] = max(f[i][p - 1], f[g[i][p - 1]][p - 1]);
			g[i][p] = g[g[i][p - 1]][p - 1];
		}
	}
	rep(i, 1, n) {
		int ans = 0, u = i;
		rep(p, 0, P) if((k >> p) & 1) 
			ans = max(ans, f[u][p]), u = g[u][p];
		writeln(ans);
	}

T3 航海探險

就是這道題卡了我一會兒，然後我去做核酸了。

題目大意

在大海中，有 \(n\) 座不確定座標的島嶼。接下來，會陸續發現這些島嶼之間的相對位置關係，在發現的過程中，系統也會詢問一些島嶼之間的距離：

• 若有兩島嶼的相對位置關係被發現了，則輸入格式為 D a b e，表示島嶼 \(a\) 在島嶼 \(b\) 的 \(D\) 方向 \(e\) 公里。\(D\) 必須是 ESWN 中的一個字母，分別表示東南西北四個方向，輸入資料保證不會有矛盾的情況發生，但有些資訊可能是重複多餘的。

• 如果輸入格式為 ? a b，表示需要查詢島嶼 \(a\) 在島嶼 \(b\) 之間的距離。如果 \(a\) 與 \(b\) 之間的相對關係尚不確定，則輸出 ?。

注意，在計算距離時，所使用的定義是橫縱座標的差的絕對值之和，這種距離定義被稱為城市距離或曼哈頓距離，而非常用的歐幾里得距離。

大體思路

其實這道題如果是歐幾里得距離也能做。

\(a,b\) 之間的位置關係有傳遞性和方向性，因此考慮用帶權並查集維護向量。

用 \(v_X\) 記錄節點 \(X\) 指向其父親節點 \(Y\) 的向量 \(\overrightarrow{XY}\)。在路徑壓縮時由於路徑壓縮改變父親節點，設當前節點為 \(X\)，父親節點為 \(Y\)，根節點為 \(R\)，則 \(\overrightarrow{XR}=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YR}\)，而 \(\overrightarrow{YR}\) 在上一級函式中已經計算完成，因此直接令當前的 \(v_X\) 加上 \(v_Y\) 即可。

合併時，對於已經在同一個集合內的節點不予操作。否則，假設兩個節點為 \(a,b\)，其所在集合的根節點分別為 \(R_a,R_b\)。根據 D a b e 語句，我們可以得到向量 \(\overrightarrow{ab}\)，現在要更新 \(\overrightarrow{R_a R_b}\)。顯然有 \(\overrightarrow{R_aR_b}=\overrightarrow{R_aa}+\overrightarrow{ab}+\overrightarrow{bR_b}=v_b-v_a+\overrightarrow{ab}\)。

曼哈頓距離就是兩個向量的 \(|\Delta x|+|\Delta y|\)。

另外，\(e\le 10^9\)，需要開 long long。

int n, m, fa[maxn];
struct Vector {
	int x, y;
} v[maxn]; 
inline int find(int u) {
	if(u == fa[u]) return u;
	int rt = find(fa[u]);
	v[u].x += v[fa[u]].x, v[u].y += v[fa[u]].y;
	return fa[u] = rt;
}
inline void merge(int x, int y, int dir, int dis) {
	// Dir x y dis, 0~3 = ESWN
	int f1 = find(x), f2 = find(y);
	if(f1 == f2) return;
	fa[f1] = f2;
	int dx = v[y].x - v[x].x, dy = v[y].y - v[x].y;
	if(dir == 0) v[f1] = {dx - dis, dy};
	else if(dir == 1) v[f1] = {dx, dis + dy};
	else if(dir == 2) v[f1] = {dis + dx, dy};
	else v[f1] = {dx, dy - dis};
}
signed main () {
	read(n); read(m);
	rep(i, 1, n) fa[i] = i;
	while(m --) {
		char op; int a, b, d;
		ReadChar(op);
		if(op == '?') {
			read(a); read(b);
			int f1 = find(a), f2 = find(b);
			if(f1 != f2) puts("?");
			else writeln(abs(v[a].x - v[b].x) + abs(v[a].y - v[b].y));
		}
		else {
			read(a); read(b); read(d);
			if(op == 'E') merge(a, b, 0, d);
			else if(op == 'S') merge(a, b, 1, d);
			else if(op == 'W') merge(a, b, 2, d);
			else merge(a, b, 3, d);
		}
//		rep(i, 1, n) printf("%lld: (%lld, %lld) ", i, v[i].x, v[i].y);
//		putchar('\n');
	}
	return 0;
}

T4 沒有考試的天數

題目大意

給定 \(n\) 個數 \(a_i\)，求 \(1\sim t\) 之中有多少個數不是任何一個 \(a_i\) 的正整數倍。

\(n\le 20,t\le 10^{14}\)

大體思路

容斥模板題。用一個 \(n\) 位的二進位制數表示是否選 \(a_i\)。

每次對於所有選擇的數求一個 \(lcm\)，然後根據數的個數的奇偶性判斷答案加上或者減去 \(\left\lfloor \dfrac{t}{lcm}\right\rfloor\)。時間複雜度 \(O(2^nn\log a )\)，看上去似乎時間很緊，但其實其中的 \(n\) 是跑不滿的。更精確的計算可以列舉 \(1\) 的個數然後用組合數導，但沒啥意義。

需要注意的是，\(n\) 個 \(a_i\) 的最大公約數可能超過 long long 的範圍，因此當求得的 \(lcm>t\) 時直接 break;。

程式碼非常簡單，不給惹。