\(\mathbf{Qn1}\quad\)設集合 \(A\) 是有限集，且 \(|A|=n\)，求：\(A\) 上有多少個不同的對稱關係；\(A\) 上有多少個不同的反對稱關係；\(A\) 上有多少個不同的既非自反又非反自反的關係。

\(\mathbf{Pre}\)

\(R\) 是 \(A\) 上的關係，當且僅當它是 \(A^2\) 的子集。
(1) 自反性：\(\forall x\in A\Rightarrow<x,x>\in R\)
(2) 反自反性：\(\forall x\in A\Rightarrow<x,x>\notin R\)
(3) 對稱性：\(\forall x,y\in A,<x,y>\in R\Rightarrow<y,x>\in R\)

\(\mathbf{Sol}\quad\) 我們來解決第一小問。

對稱關係只需要是對稱矩陣即可，亦即可在主對角線和上三角區元素中任選 \(1\) 或 \(0\)。
共 \(\dfrac{n(n+1)}{2}\)

我們解決第二小問。

反對稱關係要求關於主對角線反對稱的矩陣，亦即關於主對角線對稱的元素可在上三角區或下三角區中任選一個為 \(1\) 或全為 \(0\)，主對角線上的元素同樣任選 \(1\) 或 \(0\)。上三角區有 \(\dfrac{n(n-1)}{2}\) 個元素，主對角線有 \(n\) 個元素，因此有 \(2^n 3^\frac{n(n-1)}{2}\) 個不同的反對稱關係。

接下來看第三小問。

自反關係矩陣的主對角線全部為 \(1\)，其他元素任選 \(1\) 或 \(0\)，共 \(n^2-n\) 個元素，有 \(2^{n^2-n}\)

\(\mathbf{Sol}\quad\) 假設平面上已經有 \(n\) 條直線和 \(n\) 個圓。

我們向其新增一條直線。這條直線與已經存在的 \(n\) 條直線最多有 \(n\) 個交點，增加了 \(n+1\) 個區域；這條直線與已經存在的 \(n\) 個圓最多有 \(2n\) 個交點，增加了 \(2n\) 個區域。

我們再向其新增一個圓。這個圓與已經存在的 \(n+1\) 條直線最多有 \(2(n+1)\) 個交點，增加了 \(2(n+1)\) 個區域；這個圓與已經存在的 \(n\) 個圓最多有 \(2n\) 個交點，增加了 \(2n\) 個區域。

我們得到遞推方程

解得

\(\mathbf{Qn3}\quad\) 設 \(A=\{1,2,\dots,n\}\)，有多少滿足以下條件的從 \(A\) 到 \(A\) 的函式 \(f\):
(1) \(f\circ f=f\quad\) (2) \(f\circ f=I_A\quad\) (3) \(f\circ f\circ f=I_A\)

\(\mathbf{Sol}\quad\) 對於問題 (1) 而言，函式的複合仍是函式本身，不妨設 \(<x,y>\in f\)，那麼必然有 \(<y,y>\in f\)，換句話說 \(f\) 中存在且至少存在一個自反序偶。
考慮僅有一個自反序偶的情況。其餘的 \(n-1\) 個非自反序偶的第二元素只有一種選擇，此時有 \(n\) 個不同函式。
考慮有兩個自反序偶的情況。其餘的 \(n-2\) 個非自反序偶的第二元素各有兩種選擇，此時有 \(\displaystyle{\binom{n}{2}2^{n-2}}\) 個不同函式。
考慮有 \(k\) 個自反序偶的情況。其餘的 \(n-k\) 個非自反序偶的第二元素各有 \(k\) 種選擇，此時有 \(\displaystyle{\binom{n}{k}k^{n-k}}\) 個不同函式。
因此有 \(\displaystyle{\sum_{i=1}^n \binom{n}{i}i^{n-i}}\) 個函式 \(f\) 滿足 \(f\circ f=f\)

對於問題 (2) 而言，函式的複合是恆等變換，不妨設 \(<x,y>\in f\)，那麼必然有 \(<y,x>\in f\)，換句話說 \(f\) 可劃分為自反序偶類 \(\mathscr A\) 和互為對稱的非自反序偶類 \(\mathscr B\)。注意 \(\mathscr B\) 中必然有偶數個數字。
考慮 \(\mathscr B\) 中有兩個數字的情況。這兩個數字可在 \(n\) 個數中任選，此時有 \(\displaystyle\binom{n}{2}\) 個不同函式。
考慮 \(\mathscr B\) 中有四個數字的情況。這四個數字可在 \(n\) 個數中任選，此時有 \(\displaystyle\binom{n}{4}3!!\) 個不同函式。
考慮 \(\mathscr B\) 中有 \(2k\) 個數字的情況。這 \(2k\) 個數字可在 \(n\) 個數中任選，此時有 \(\displaystyle\binom{n}{2k}(2k-1)!!\) 個不同函式。
因此有 \(\displaystyle{\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\binom{n}{2i}(2i-1)!!}\) 個函式 \(f\) 滿足 \(f\circ f=I_A\)

對於問題 (3) 而言，函式的複合的複合是恆等變換，不妨設 \(<x,y>,<y,z>\in f\)，那麼必然有 \(<z,x>\in f\)，換句話說 \(f\) 可劃分為自反序偶類 \(\mathscr A\) 和以三為迴圈節迴圈的非自反序偶類 \(\mathscr B\)。注意 \(\mathscr B\) 中必然有 \(3k\) 個數字。
考慮 \(\mathscr B\) 中有三個數字的情況。這三個數字可在 \(n\) 個數中任選，此時有 \(\displaystyle\binom{n}{3}2\) 個不同函式。
考慮 \(\mathscr B\) 中有六個數字的情況。這六個數字可在 \(n\) 個數中任選，此時有 \(\displaystyle\binom{n}{6}(5\cdot4)(2\cdot1)\) 個不同函式。
考慮 \(\mathscr B\) 中有 \(3k\) 個數字的情況。這 \(3k\) 個數字可在 \(n\) 個數中任選，此時有 \(\displaystyle\binom{n}{3k}\frac{(3k)!}{3k!}\) 個不同函式。
因此有 \(\displaystyle{\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{3}\rfloor}\binom{n}{3i}\frac{(3i)!}{3i!}}\) 個函式 \(f\) 滿足 \(f\circ f\circ f=I_A\)