凸透鏡成像原理

前言

凸透鏡成像原理是初中二年級的簡單物理知識，但是因為 （數學學的不好） 種種原因，初中的教學只能通過實驗來找出規律。

因此，很多初中 牲 生在學習此方面知識的時候十分痛苦。
相信大家不想死背規律表及規律口訣，作者也很希望可以幫到大家。

故，此篇文章誕生！

給個贊不過分吧

規律法

是的，在開始之前，先回顧一下剛學完的知識：

物距(u)	像距(v)	正側	大小	虛實	應用	特點	物、像位置關係
u>2f	f<v<2f	倒立	縮小	實像	照相機、攝像機	-	物像異側
u=2f	v=2f	倒立	等大	實像	測焦距	成像大小分界點	物象異側
f<u<2f	v>2f	倒立	放大	實像	幻燈機、電影放映機、投影儀	-	物象異側
u=f	不成像	不成像	不成像	不成像	強光聚焦手電筒、製作平行光線	成像虛實的分界點	-
u<f	v>u	正立	放大	虛像	放大鏡	虛像在物體同側、之後	物象同側

口訣

口訣一

一焦（點）分虛實，二焦（距）分大小；
虛像同側正，實像異側倒，物遠像變小。

口訣二

物遠實像小而近，物近實像大而遠，
如果物放焦點內，正立放大虛像現；
幻燈放像像好大，物處一焦二焦間，
相機縮你小不點，物處二倍焦距遠。

幾何法

P.S. 這裡需要前置知識：三角形相似

證明

\[\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f} \]

\(證：\)

\(\because\triangle ABO∽\triangle A'B'O\) \(\qquad\) (三角形ABO相似於三角形A'B'O)

\(\therefore AB:A'B'=u:v\)

\(\because\triangle COF∽\triangle A'B'F\)

\(\therefore CO:A'B'=f:(v-f)\)

\(\because 四邊形ABOC為矩形\)

\(\therefore AB=CO\)

\(\therefore AB:A'B'=f:(v-f)\)
\(\therefore u:v=f:(v-f)\)

\(\therefore u(v-f)=vf\)

\(\therefore uv-uf=vf\)

\(\because uvf\neq 0\)

\(\therefore \frac{uv}{uvf}-\frac{uf}{uvf}=\frac{vf}{uvf}\)

\(\therefore \frac{1}{f}-\frac{1}{v}=\frac{1}{u}\)

\(即\)

\(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}\)

\(證畢\).

函式法

P.S. 這裡還是要前置知識：正比例函式（\(y=kx\)）與 一次函式（\(y=kx+b\))

證明

\[\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f} \]

步驟
　　（一）為便於用函式法解決此問題，將凸透鏡的主光軸與平面直角座標系的橫座標軸（\(x\)軸）關聯（即重合），將凸透鏡的理想折射面與縱座標軸（\(y\)軸）關聯，將凸透鏡的光心與座標原點關聯.則：點\(A\)的座標為\(（-u,c）\)，點\(F\)的座標為\(（f,0）\)，點\(A'\)的座標為\(（v,-d）\)，點\(C\)的座標為\(（0，c）\).
　　（二）將\(AA'\)，\(A'C\)雙向延長為直線\(l_1\),\(l_2\)，視作兩條函式圖象.由圖象可知：直線\(l_1\)為正比例函式圖象，直線\(l_2\)為一次函式圖象.
　　（三）設直線\(l_1\)的解析式為\(y=k_1x\)，直線\(l_2\)的解析式為\(y=k_2x+b\).

依題意，將\(A(-u,c),C(0,c),F(f,0)\)代入相應解析式，得

\[\begin{cases} c=-uk_1\\ c=b\\ 0=k_2f+b \end{cases} \]

得

\[\begin{cases} k_1=-\frac{c}{u}x\\ k_2=-\frac{c}{f} \end{cases} \]

\(\therefore 兩函式解析式為\)

\[y=-\frac{c}{u}x\\ y=-\frac{c}{f}x+c \]

\(\therefore 兩函式交點A'(x,y)滿足方程組\)

\[\begin{cases} y=-\frac{c}{u}x\\ y=-\frac{c}{f}x+c \end{cases} \]

\(\because A'(v,-d)\)

\(\therefore \begin{cases}-d=-\frac{c}{u}v\\-d=-\frac{c}{f}v+c\end{cases}\)

\(\therefore -\frac{c}{u}v=-\frac{c}{f}v+c=-d\)

\(\therefore \frac{c}{u}v=\frac{c}{f}v+c=d\)

\(\therefore \frac{cv}{u}=\frac{cv}{f}+c\)

\(\therefore cvf=cuv-cuf\)（兩邊同乘\(uf\)）

\(\therefore vf=uv-uf\)

\(\because uvf\neq0\)

\(\therefore \frac{vf}{uvf}=\frac{uv}{uvf}-\frac{uf}{uvf}\)

\(\therefore \frac{1}{u}=\frac{1}{f}-\frac{1}{v}\)

\(即\)

\(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}\)

\(證畢.\)

尾聲

是的，這就是推出&證明凸透鏡成像原理的方法。可能你沒懂，但這是很正常的，畢竟這些高中會再講一次 現在掌握規律法就行，只是本文給出對此感興趣的同學藉以參考，畢竟知識不宜學死，要學會鮮活、生動的知識。

尾聲的尾聲

本文並非用word或記事簿等大眾文字編輯器進行文字編輯，而是採用\(MarkDown\)語言進行編寫，文中所示的數學語言皆用\(\LaTeX\)語言進行編輯。

用意何在？

因為這是一種另類的編輯文字語言，像是敲程式碼。主要原因是\(OI\)（資訊競賽）生涯上需要寫題解、發表帖子，且均採用這一類語言為多。而作者本人作為一名\(OIer\)，希望以這種方式傳播資訊的魅力與精彩！

以下是本文所有內容的原始碼，感興趣的同學可以自行了解。

MAIN CODE（本部分可跳過）

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# 凸透鏡成像原理
## 前言
凸透鏡成像原理是初中二年級的**簡單**物理知識，但是因為  <s>（數學學的不好）</s>  種種原因，初中的教學只能通過實驗來找出規律。

因此，很多初中 <s>牲</s> 生在學習此方面知識的時候**十分痛苦**。\
相信大家不想死背規律表及規律口訣，作者也很希望可以幫到大家。

故，此篇文章誕生！
###### <s>給個贊不過分吧</s>

## 規律法
是的，在開始之前，先回顧一下剛學完的知識：

|物距(u)|像距(v)|正側|大小|虛實|應用|特點|物、像位置關係|
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
|u>2f|f<v<2f|倒立|縮小|實像|照相機、攝像機|-|物像異側|
|u=2f|v=2f|倒立|等大|實像|測焦距|成像大小分界點|物象異側|
|f<u<2f|v>2f|倒立|放大|實像|幻燈機、電影放映機、投影儀|-|物象異側|
|u=f|不成像|不成像|不成像|不成像|強光聚焦手電筒、製作平行光線|成像虛實的分界點|-|
|u<f|v>u|正立|放大|虛像|放大鏡|虛像在物體同側、之後|物象同側|

### 口訣
#### 口訣一
> 一焦（點）分虛實，二焦（距）分大小；\
虛像同側正，實像異側倒，物遠像變小。
#### 口訣二
> 物遠實像小而近，物近實像大而遠，\
如果物放焦點內，正立放大虛像現；\
幻燈放像像好大，物處一焦二焦間，\
相機縮你小不點，物處二倍焦距遠。

## 幾何法
### P.S. 這裡需要前置知識：三角形相似
![](D:\image.png)
證明
$$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$$
$證：$

$\because\triangle ABO∽\triangle A'B'O$ $\qquad$ (三角形ABO相似於三角形A'B'O)

$\therefore AB:A'B'=u:v$

$\because\triangle COF∽\triangle A'B'F$

$\therefore CO:A'B'=f:(v-f)$

$\because 四邊形ABOC為矩形$

$\therefore AB=CO$

$\therefore AB:A'B'=f:(v-f)$
$\therefore u:v=f:(v-f)$

$\therefore u(v-f)=vf$ 

$\therefore uv-uf=vf$

$\because uvf\neq 0$

$\therefore \frac{uv}{uvf}-\frac{uf}{uvf}=\frac{vf}{uvf}$

$\therefore \frac{1}{f}-\frac{1}{v}=\frac{1}{u}$

$即$

$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$

$證畢$.

## 函式法
### P.S. 這裡還是要前置知識：正比例函式（$y=kx$）與 一次函式（$y=kx+b$)
![](D:\image2.png)
證明
$$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$$
步驟\
　　（一）為便於用函式法解決此問題，將凸透鏡的主光軸與平面直角座標系的橫座標軸（$x$軸）關聯（即重合），將凸透鏡的理想折射面與縱座標軸（$y$軸）關聯，將凸透鏡的光心與座標原點關聯.則：點$A$的座標為$（-u,c）$，點$F$的座標為$（f,0）$，點$A'$的座標為$（v,-d）$，點$C$的座標為$（0，c）$.\
　　（二）將$AA'$，$A'C$雙向延長為直線$l_1$,$l_2$，視作兩條函式圖象.由圖象可知：直線$l_1$為正比例函式圖象，直線$l_2$為一次函式圖象.\
　　（三）設直線$l_1$的解析式為$y=k_1x$，直線$l_2$的解析式為$y=k_2x+b$.

依題意，將$A(-u,c),C(0,c),F(f,0)$代入相應解析式，得
$$
\begin{cases}
c=-uk_1\\
c=b\\
0=k_2f+b
\end{cases}
$$
得
$$
\begin{cases}
k_1=-\frac{c}{u}x\\
k_2=-\frac{c}{f}
\end{cases}
$$
$\therefore 兩函式解析式為$
$$
y=-\frac{c}{u}x\\
y=-\frac{c}{f}x+c
$$
$\therefore 兩函式交點A'(x,y)滿足方程組$
$$
\begin{cases}
y=-\frac{c}{u}x\\
y=-\frac{c}{f}x+c
\end{cases}
$$
$\because A'(v,-d)$

$\therefore \begin{cases}-d=-\frac{c}{u}v\\-d=-\frac{c}{f}v+c\end{cases}$

$\therefore -\frac{c}{u}v=-\frac{c}{f}v+c=-d$

$\therefore \frac{c}{u}v=\frac{c}{f}v+c=d$

$\therefore \frac{cv}{u}=\frac{cv}{f}+c$

$\therefore cvf=cuv-cuf$（兩邊同乘$uf$）

$\therefore vf=uv-uf$

$\because uvf\neq0$

$\therefore \frac{vf}{uvf}=\frac{uv}{uvf}-\frac{uf}{uvf}$

$\therefore \frac{1}{u}=\frac{1}{f}-\frac{1}{v} $

$即$

$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$

$證畢.$

## 尾聲
是的，這就是推出&證明凸透鏡成像原理的方法。可能你沒懂，但這是很正常的，<s>畢竟這些高中會再講一次</s> 現在掌握規律法就行，只是本文給出對此感興趣的同學藉以參考，畢竟知識不宜學死，要學會鮮活、生動的知識。
### 尾聲的尾聲
本文並非用word或記事簿等大眾文字編輯器進行文字編輯，而是採用$MarkDown$語言進行編寫，文中所示的數學語言皆用$\LaTeX$語言進行編輯。

用意何在？

因為這是一種另類的編輯文字語言，像是敲程式碼。主要原因是$OI$（資訊競賽）生涯上需要寫題解、發表帖子，且均採用這一類語言為多。而作者本人作為一名$OIer$，希望以這種方式傳播資訊的魅力與精彩！

以下是本文所有內容的原始碼，感興趣的同學可以自行了解。