第12章 Amortized Analysis平攤分析

第10周

記於2022/11/29

概率分析與平攤分析的區別

• 概率分析
  • 平均執行時間
    • 考慮同一演算法的所有可能輸入情況
    • 如果使用概率，則稱為期望執行時間
    • 針對單一操作/演算法
• 平攤分析
  • 針對某一資料結構的 操作序列
  • 不使用概率
  • 操作序列中的平均操作效能/代價【主要針對物件】
    • 操作代價可能不同，其中有些代價巨大

平攤分析策略

聚集分析

• n個操作的序列最壞情況下花費總時間為T(n)

• T(n) / n每個操作的平均代價（或攤還代價）

• - A[0]位每次都會進行反轉，總共進行n次 - A[1]位每間隔一次進行反轉，共計n/2向下取整 .... - A[i]位，n/(2^i)

• 對於n個累加的序列，最壞情況執行時間為O(n),因此每一個操作的平攤成本/【平均成本】為O(1)

記賬方法 / 核算法

• 【為不同的操作分配不同的費用 ，費用的金額稱為**平攤成本**】
• 每個操作賦予一個（不同的）平攤代價
• 平攤代價高於其實際代價 / 平攤成本大於實際成本
  • 差值稱為某一操作的存款（credit），如果存款不足則無法進行該操作
• 存款用於補償以後那些平攤代價低於實際代價的操作
• 假設用 ci 表示第i個操作的實際成本/真實代價，用 ci` 表示其平攤成本/攤還代價
• 滿足：
• 適用於所有的操作序列，因此要求總的平攤成本作為總的實際成本的上限，總的平攤成本 - 總的實際成本>=0
• 在中間任意時刻，都要保持總的平攤成本 - 總的實際成本>=0
• - PUSH 的**攤還代價**為 2 ，是因為其中有一個1給PUSH操作，還有一個1是因為現在壓入一個數據將來要出棧，需要預留一個POP操作的成本 - 每個操作的平攤成本為O(1) - 對於二進位制計數器，如果用1￥代表每次操作的成本，flip of one bit就代表花1￥，那麼如果某位由0變為1給出的平攤成本為多少？ **2￥，1￥用於支付現在由0->1的費用（實際成本）,1￥存起來用於支付將來由1->0的費用** - 每次操作最多置 1 bit，因此一個操作的平攤成本最多為2￥ - 因此，n次操作總的平攤成本為O(n)，平均每次的成本為O(1)

勢能方法

• 類似記賬方法

• 存款不是某一操作的，而是整個資料結構的勢（Potential）；預付的不是存款，而是一種“勢能”，將勢能釋放即可以用來支付未來操作的代價

• - 總的平攤成本=總的實際成本 + 勢能的總變化

• 棧操作

  • 勢能等於棧中元素的個數

• 二進位制計數器

  • 勢能應該為某次操作後計數器中 1 的個數！ 因為0的個數隻影響當前這一位，這一位完全可以用現在已有的勢能來支付其開銷
  • 如果bi>0（中間計數狀態）,bi等於原來的1的個數，減去重置個數，再加一個新set為1的個數
  • 實際成本ci為ti+1，平攤成本<=2

動態表

• 操作：表插入、表刪除

• 應用場景

  • 雜湊表
  • 事先不知道表的大小；隨插入而擴充套件；隨刪除而收縮

• 目標

  • 得到O(1)的平攤成本
  • 未使用的空間 <= 已經使用的空間

• 負載係數α = num/size

  • 如果size=0，則num=0，α=1
  • 不允許α>1 (目標2)

• 表空間滿了則size加倍，保證α >= 1/2

• Insert

  • 聚集分析
  • 記賬方法：插入x 收費3￥ ：1￥-> x實際插入費用 1￥ -> 將來刪除x的費用 1￥ -> 其他專案【移動的費用】
  • 勢能方法：

• Expansion

• Strategy