該文章翻譯自Information Processing and Thermodynamic Entropy (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

引言

　　為了證明統計力學的一致性，資訊處理的原理是必要的嗎?單次計算操作的物理實現是否存在基本的熱力學代價，或者純粹是由於其本身的邏輯性?這兩個問題恰恰是西拉德熱機(麥克斯韋惡魔思想實驗的變體)、蘭道爾原理(被認為體現了計算熱力學的基本原理)以及大量其他的與兩者相關的文獻的討論核心。接下來本文將嘗試來回答這些問題。

1. Maxwell，Szilard 和 Landauer

1.1 麥克斯韋惡魔

1.2 希拉德熱機

1.3 蘭道爾原理

2. 統計力學和熱二律

2.1 熵

即使在表象熱力學中，熱力學熵的定義也很難被精確定義，但是可以通過很多途徑來來逼近。傳統方式是基於卡諾，開爾文和克勞修斯等人的工作給出表述，以下將討論他們的工作。

　　一個封閉的熱力學系統是一個和環境只進行功熱交換的系統。對系統做功可以使得一個具有重力勢的物體下降，被提取的功可以使得物體上升，這項工作可以通過操縱系統的外部可控引數(如調節含有氣體的密封盒的體積)或通過其他手段(如在氣體內驅動槳輪，攪拌氣體)來完成。熱通過與系統熱接觸的熱浴進行交換，並且這些熱浴可以有多個具有不同溫度。一個閉合迴圈指的是，在一系列操作之後使得系統在結束與開始時為相同的熱力學狀態，但物體的重力勢可能會發生改變，也可能與單個熱浴交換熱量。

　　根據經驗觀察，在任何封閉迴圈中，其唯一結果是在溫度為Ti的熱浴中產生熱量Qi，(需要做功W=∑i Qi)，表示為克勞修斯不等式:

　　克萊修斯對熱力學第二定律的表述為：

　　不可能有這樣一個迴圈過程，使得熱量從低溫物體傳向高溫物體而不引起其他變化。

　　開爾文對熱力學第二定律的表述為：

　　不可能製成一種迴圈動作的熱機，從單一熱源取熱，使之完全變為功而不引起其它變化。

開爾文和克勞修斯在卡諾的基礎上，表示不等性對於所有的封閉迴圈都是成立的。溫度是絕對溫度，可以通過理想氣體溫度計測量。

現在我們假設存在這樣一個過程，系統的狀態由A變化為B，同時向溫度為$T_i$的熱池傳遞了$q_i$的熱量；對於逆過程即從B變為A，向溫度為$T_i$的熱池傳遞的熱量是$q_i'$，滿足下列等式：

$\sum_{i}^{} \frac{q_i}{T_i} +\sum_{i}^{} \frac{q_i'}{T_i}=0$

　　由不等式可知，假設對於任意一個過程，系統從A轉化為B，對溫度為$T_i$的熱池產生了$Q_i$的熱量，則：

$\sum_{i}^{} \frac{Q_i}{T_i} +\sum_{i}^{} \frac{q_i'}{T_i}>=0$

因此：

$\sum_{i}^{} \frac{Q_i}{T_i} >= \sum_{i}^{} \frac{q_i}{T_i}$

其中$\sum_{i}^{} \frac{q_i}{T_i}$表示系統從A轉化為B的所有可能的路徑中最小產生的熱量下限，克勞修斯的見解是，當系統在兩種狀態之間變化時，通過測量傳遞到熱池的熱量，可以用來定義熱力學狀態的函式，即熱力學熵$SΘ$可以表示為：

$S \theta(A)-S \theta(B)=\sum_{i}^{} \frac{q_i}{T_i}$

由上面可知，對於任何過程，滿足：

$\sum_{i}^{} \frac{Q_i}{T_i} >= \sum_{i}^{} \frac{q_i}{T_i}$

因此對於任意過程滿足：

$\sum_{i}^{} \frac{Q_i}{T_i}>=S \theta(A)-S \theta(B)$

因此，從狀態A到狀態B的絕熱過程(不產生任何熱量)，只有可能熵增，即：SΘ(A)≤SΘ(B)

　　熱力學熵的定義依賴於能夠達到相等情況的迴圈過程，也被稱為可逆過程。熱力學狀態之間存在這樣的過程，可以確定這些狀態之間的熵差，並擴充套件到所有狀態，定義了一個全域性唯一的熱力學熵函式(直到重新縮放S ' = a−1 S + b，其中a和b是常數，a是溫度尺度上的乘法常數)。注意，如果存在不能通過可逆過程連線的狀態，仍然可以給出某種熵的定義使其對於所有可能的路徑滿足：

$\sum_{i}^{} \frac{Q_i}{T_i}>=S \theta(A)-S \theta(B)$

　　但是熵的值不能被唯一確定，因為很多熵的表述形式都滿足這些不等式。

對於一個迴圈過程，不等式相等的條件一般是準靜態可逆過程。在這些過程中，系統的狀態變數(如溫度、體積和氣體的壓力)發生了無限小的變化，並且這種變化可以通過與熱浴相等或相反的無限小的熱交換向任何方向進行。這些熱交換通常只有在系統與熱浴處於熱平衡時才可逆。

　　為了使狀態變數的變化是無窮小的，狀態空間必須是連續的。狀態序列將由狀態空間中的連續曲線表示。通過這些無窮小的變化連線A和B的曲線用積分代替了求和。$T_i$可以被系統的溫度$T$取代，而熱量$dQ$，現在是系統吸收的熱量:

$S \theta(A)-S \theta(B)=\int_{A}^{B} \frac{dQ}{T} $

　　克勞修斯不等式確保了這個值對於從A到B的所有準靜態可逆路徑都是相同的。應該注意的是，準靜態可逆路徑是一種理想狀態，只有在無限慢過程的極限下才能到達。

　　只有克勞修斯不等式成立的情況下，這個熱力學熵才是熱力學狀態的一致定義的單值函式。然而，如果麥克斯韋惡魔存在，那麼克勞修斯不等式似乎就不成立了。為了進一步研究，有必要考慮熵的統計力學一般化。

　　對於統計力學，我們需要考慮微觀狀態空間和狀態在該空間中的動態演化。經典地說，這是一個相空間，有n個體系統有3N個位置自由度和3N個動量自由度。相空間中的一個點對應於所有N個物體的組合物理狀態。動力學幾乎總是被認為是哈密頓的。哈密頓流保留了測度dX3NdP3N。這個測度可以用來定義相空間$R$區域的體積$V_R$，即為：

$V_R=\int_{R}^{} dx^{3N}dp^{3N} $

　　一個非常重要的結論是劉維爾定理，它表明，當一組狀態通過哈密頓演化時，該狀態集所佔據的相空間體積不會改變。

　　玻爾茲曼熵，$S_B=k\ln_{W} $，被廣泛認為是統計力學中熱力學熵最自然的類比。它表徵了個體微觀狀態的屬性。狀態空間被劃分為許多不同的區域，而$S_B$是根據微狀態所歸屬的狀態空間區域的體積$W$來定義的。給定區域內的所有微觀狀態都具有相同的玻爾茲曼熵。

　　有許多方法可以將狀態空間劃分為不同的區域。最常見的一組微觀狀態集合，它們符合諸如巨集觀上或觀察上不可區分的標準，或者隨著時間的推移，微觀狀態的演化是可訪問的。對於這裡考慮的系統，這些方法通常定義相同的區域。我們可以按照慣例將這些區域稱為巨集觀狀態，但在描述僅由單個分子組成的系統時，承認這個術語有點不合適。例如，在西拉德熱機的例子中，當沒有分割時，系統的巨集觀狀態由盒子中分子所處的所有微觀狀態的集合組成。當分割槽插入盒子時，巨集觀狀態是所有微觀狀態的集合，其中分子的位置與分子的實際位置在分割槽的同一側。我們有時會提到巨集觀狀態的玻爾茲曼熵:這只是巨集觀狀態下微觀狀態的玻爾茲曼熵。

　　玻爾茲曼熵$S_B$並不能保證是非遞減的。雖然通過對玻爾茲曼h定理的可逆性和遞迴性的反對，已知$S_B$的降低是可能的，但如果它們在實踐中發生，則會被視為令人驚訝的降低。雖然單個微觀狀態可以從大容量巨集觀狀態進化到小容量巨集觀狀態，但劉維爾定理保證，在哈密頓進化下，只有一小部分微觀狀態可以從較大的巨集觀狀態進化到較小的巨集觀狀態。從玻耳茲曼熵的對數形式，以體積為單位的比例

2.2 熱二律

3. 需要資訊處理的統計力學

3.1 

3.2 沒有惡魔的熱機

3.3 記憶與擦除

3.4 演算法複雜度

3.5 聲 vs 

3.6 惡魔的存在

4. 使用統計力學的資訊處理

5. 量子力學的引入