P8377 [PFOI Round1] 暴龍的火鍋 題解
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題目背景
暴龍愛吃火鍋。
題目描述
定義 \(S(x)\) 表示 \(x\) 的每一位的數字之和，例如：\(S(14)=1+4=5\)，\(S(114514)=1+1+4+5+1+4=16.\)
另外，定義 \(fib(x)\) 代表斐波那契數列的第 \(x\) 項，具體地：
\[fib(1)=fib(2)=1,\ fib(x)=fib(x-1)+fib(x-2)\ (x≥3). \]現在給定 \(n\)，求出下式的值，其中 \(\bmod 9\) 表示對 \(9\) 取餘數：
\[(S(fib(1))+S(fib(2))+S(fib(3))+...+S(fib(n))) \bmod 9. \]輸入格式
第一行一個整數 \(T\)。
接下來 \(T\) 組問詢，每次一個整數 \(n\)。
輸出格式
\(T\) 行，每行一個整數代表答案。
樣例 #1
樣例輸入 #1
3
7
14
114514
樣例輸出 #1
6
5
8
提示
【樣例解釋】
對於第一組詢問，\(n=7\)，答案為：
\[\begin{aligned} & \ \ \ \ \ (S(fib(1))+S(fib(2))\ldots+S(fib(6))+S(fib(7)))\bmod 9 \\ & =(1+1+2+3+5+8+(1+3))\bmod 9 \\ & =6. \end{aligned} \]【資料範圍】
「本題採用捆綁測試」
- \(\texttt{Subtask 1(10 pts)：}T=1,\ n\le 10\)；
- \(\texttt{Subtask 2(30 pts)：}T=10^2,\ n\le 10^3\)；
- \(\texttt{Subtask 3(60 pts)：}\)無特殊限制。
對於 \(100\%\) 的資料，滿足 \(1\le T\le 10^5,\ 1\le n\le 10^6\)。
題目分析：
我們已經知道題目是讓我們求從 \(1\) 到 \(n\) 這一串資料被稱為 \(a_i\) 讓我們求第 \(_i\) 項的斐波那契數列的值的各位相加，如果直接用暴力解會變成這樣（編者一開始就是這麼寫的...）
int kkks(int x) {
int b = x, sum = 0;
while (b) sum += b % 10, b /= 10;
return sum;
}
int fib(int x) {
int f[MAX];
f[1] = 1, f[2] = 1;
if (x == 1 || x == 2)return 1;
for (int i = 3; i <= x; i++) f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
return f[x];
}
這兩個函式是分別求第 \(_i\) 項斐波那契數列的值和求各位數之和的函式，然後暴力一個一個計算
for (int i = 1; i <= n; i++) {
sum = 0;
int x = read();
for (int j = 1; j <= x; j++) sum += kkks(fib(j));
write(sum % 9);
puts("");
}
寫到這裡，你可以得 \(10\) 分，我們再反過來看題，斐波那契數列的第 \(7\) 項是 \(13\) 而我們要求的各位數之和是 \(4\) ，\(13 ~mod ~9==4\)，我們驚奇的發現了這個規律，再繼續驗證 第 \(8\) 項是 \(21\), \(21\) \(~mod ~\) \(9==3\) 發現這個規律是行的通的，所以我們現在不需要這兩個函數了
f[1] = 1, f[2] = 1;
while (n--) {
sum = 2;
int x = read();
for (int j = 3; j <= x; j++) f[j] = (f[j - 1] + f[j - 2]) % 9, sum += f[j], sum %= 9;
write(sum);
puts("");
}
我們可以直接這樣寫，在計算的時候就將其值 \(~mod ~9\) 可以縮短時間，但每一組資料都要算一次，這樣只能得 \(40\) 分，所以我們可以先來一波預處理
f[1] = 1, f[2] = 1;
sum[1] = 1, sum[2] = 2;
for (int j = 3; j <= 1000001; j++) {
f[j] = (f[j - 1] + f[j - 2]) % 9;
sum[j] = (f[j] + sum[j - 1]) % 9;
}
while(n--)
{
x = read();
write(sum[x]);
puts("");
}
像這樣寫，我們直接把最大範圍的值算出來了，就讀一個數直接輸出就對了，大大增加效率。（所以這道題是真的有坑啊...）
最後附上 AC Code
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int MAX = 1000010;
int read() {
int f = 1, x = 0;
char c = getchar();
while (c < '0' || c > '9') {
if (c == '-')f = -1;
c = getchar();
}
while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
return f * x;
}
void write(int x) {
if (x < 0) {
putchar('-');
x = -x;
}
if (x > 9)write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int n = read(), sum[MAX], x;
int f[MAX];
signed main() {
f[1] = 1, f[2] = 1;
sum[1] = 1, sum[2] = 2;
for (int j = 3; j <= 1000001; j++) {
f[j] = (f[j - 1] + f[j - 2]) % 9;
sum[j] = (f[j] + sum[j - 1]) % 9;
}
while(n--)
{
x = read();
write(sum[x]);
puts("");
}
return 0;
}