【資料結構】二維樹狀陣列
一、二維樹狀陣列
二維樹狀陣列，其實就是一維的樹狀陣列上的節點再套個樹狀陣列，就變成了二維樹狀陣列了。
const int N = 1e3 + 10; int tr[N][N], n, m; #define lowbit(x) (x & -x) void add(int x, int y, int d) { for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j)) tr[i][j] += d; } int query(int x, int y) { int ret = 0; for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) for (int j = y; j; j -= lowbit(j)) ret += tr[i][j]; return ret; }
二、單點修改，區間查詢
給出一個 \(n × m\) 的零矩陣 \(A\) ，你需要完成如下操作：
- \(1\) \(x\) \(y\) \(k\) ：表示元素 \(A\)_{\(x\) , \(y\)} 自增 \(k\)
- \(2\) \(a\) \(b\) \(c\) \(d\): 表示詢問左上角為 \((a,b)\) ，右下角為 \((c,d)\) 的子矩陣內所有數的和
單點增加，因此可以直接加上就可以了
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 5000; // 2^(12)=4096 int n, m; LL tr[N][N]; #define lowbit(x) (x & -x) void add(int x, int y, int d) { for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j)) tr[i][j] += d; } LL query(int x, int y) { LL ret = 0; for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) for (int j = y; j; j -= lowbit(j)) ret += tr[i][j]; return ret; } int main() { //加快讀入 ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0); cin >> n >> m; int opt; while (cin >> opt) { if (opt == 1) { int x, y, d; cin >> x >> y >> d; add(x, y, d); } else { int x1, y1, x2, y2; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2; cout << query(x2, y2) - query(x1 - 1, y2) - query(x2, y1 - 1) + query(x1 - 1, y1 - 1) << '\n'; } } return 0; }
三、區間修改，單點查詢
給出一個 \(n × m\) 的零矩陣 \(A\) ，你需要完成如下操作：
- \(1 \, a \, b \, c \, d \, k\)：表示左上角為 \((a,b)\) ，右下角為 \((c,d)\) 的子矩陣內所有數都自增加 \(k\)；
- \(2 \, x \, y\) ：表示詢問元素 \(A_{x,y}\) 的值。
只需要利用一個二維樹狀陣列，維護一個二維差分陣列，單點查詢即可。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 5000; int bit[N][N]; int n, m; LL tr[N][N]; #define lowbit(x) (x & -x) void add(int x, int y, int d) { for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j)) tr[i][j] += d; } LL query(int x, int y) { LL ret = 0; for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) for (int j = y; j; j -= lowbit(j)) ret += tr[i][j]; return ret; } int main() { //加快讀入 ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0); cin >> n >> m; int op; while (cin >> op) { if (op == 1) { int x1, y1, x2, y2, d; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> d; //二維差分 add(x1, y1, d); add(x1, y2 + 1, -d); add(x2 + 1, y1, -d); add(x2 + 1, y2 + 1, d); } else { int x, y; cin >> x >> y; cout << query(x, y) << '\n'; } } return 0; }
四、區間修改，區間查詢
給定一個大小為 \(N × M\) 的零矩陣，直到輸入檔案結束，你需要進行若干個操作，操作有兩類：
-
\(1 \, a\, b\, c\, d\, x\)，表示將左上角為 \((a,b)\) ，右下角為 \((c,d)\) 的子矩陣全部加上 \(x\)；
-
\(2\, a\, b\, c\, d\,\) , 表示詢問左上角為 \((a,b)\) ，右下角為 \((c,d)\) 為頂點的子矩陣的所有數字之和。
考慮字首和 \(\large S_{x,y}\) 和原陣列 \(a\) 和差分陣列 \(b\) 的關係。
\(\large \displaystyle S_{x,y}=\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^ya_{i,j} \\ \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \, =\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^y\sum_{k=1}^i\sum_{l=1}^jb_{k,l} \\ \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \, = \sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^y[xy-y(i-1)-x(j-1)+(i-1)(j-1)]b_{i,j} \\ \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \, = xy\sum_{i=1}^x\sum_{j=1^y}b_{i,j}-y\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^y(i-1)b_{i,j}-x\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^y(j-1)b_{i,j}+\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^y(i-1)(j-1)b_{i,j} \)
為什麼可以推匯出這樣的公式？考慮單個位置 \((x,y)\) 與 \(b_{i,j}\):
\([xy-y(i-1)-x(j-1)+(i-1)(j-1)]b_{i,j}\)(利用容斥原理)，所以將每個位置加起來，就是\(s_{x,y}\)。因此，我們只需要維護四個樹狀陣列，分別維護\(b_{i,j},(i-1)b_{i,j},(j-1)b_{i,j},(i-1)(j-1)b_{i,j}\)，就可以了。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2050;
int n, m;
LL a[N][N], b[N][N], c[N][N], d[N][N];
#define lowbit(x) (x & -x)
void add(int x, int y, int v) {
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
for (int j = y; j <= m; j += lowbit(j)) {
a[i][j] += v;
b[i][j] += (x - 1) * v;
c[i][j] += (y - 1) * v;
d[i][j] += (x - 1) * (y - 1) * v;
}
}
}
LL query(int x, int y) {
LL ret = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
for (int j = y; j; j -= lowbit(j))
ret += x * y * a[i][j] - y * b[i][j] - x * c[i][j] + d[i][j];
return ret;
}
int main() {
//加快讀入
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
cin >> n >> m;
int opt;
while (cin >> opt) {
int x1, y1, x2, y2;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
if (opt == 1) {
int v;
cin >> v;
add(x1, y1, v);
add(x1, y2 + 1, -v);
add(x2 + 1, y1, -v);
add(x2 + 1, y2 + 1, v);
} else
cout << query(x2, y2) - query(x1 - 1, y2) - query(x2, y1 - 1) + query(x1 - 1, y1 - 1) << '\n';
}
return 0;
}