排序資料的二分查詢

二分查詢的時間複雜度是\(O(log_2n)\),明顯快於暴力搜尋。

索引

建立索引的資料，就是通過事先排好順序，在查詢時可以應用二分查詢來提高查詢效率。

所以索引應該儘可能建立在主鍵這樣的欄位上，因為主鍵必須唯一，所以這樣生成的二叉查詢樹的效率是最高的。

資料庫索引的原理-- B+ 樹

資料庫用 B+ 樹來實現索引

其中， 非葉子節點形如

\(<P_1,K_1,P_2,K_2,...,P_{c-1},K_{c-1},P_c>\)

以第一層為例，\(<P_1,59,P_2,97,P_3>\).滿足資料部分（\(K_i\))從小到大有序排列，且指標\(P_i\)

B+樹延伸

查詢操作

以上圖查詢\(key=59\)為例，
先訪問根節點\([59,97]\), 發現\(key\)小於等於根節點中的第一個數\(59\), 於是繼續訪問\(59\)左邊的指標指向的節點\([15,44,59]\), 發現\(key\)小於等於第三個樹\(59\), 於是訪問\(59\)左邊的指標指向的葉子節點\([51,59]\), 遍歷找到要查詢的元素\(59\).

葉子節點的詳細結構如下圖

由於資料指標只在葉子節點上，所以 B+ 樹所有查詢所有關鍵字的磁碟 \(I/O\) 的次數都是樹的高度。

區間查詢

在上面的葉子節點圖中，我們可以看到每個葉子節點有一個指標\(P_{next}\), 它的作用體現在區間查詢的時候。

例如，需要查詢\([21,63]\)之間的關鍵字。

1. \(21<59\)，訪問\(59\)左邊指標指向的節點\([15,44,59]\).
2. \(15<21<44\), 訪問\(44\)左邊指標指向的葉子節點\([21,37,44]\).
3. 遍歷這個葉子節點找到\(21\)，下面的操作就如同單鏈表的遍歷，一直遍歷到\(63\)即可.

插入操作

不細說了，這篇文章的動圖能說明一切

B+ 樹的複雜度

查詢、插入和刪除等操作的時間複雜度都是\(O(logn)\)
至於這個結論怎麼得出的，還是看那篇知乎文章吧，寫得太好了。