Description

現在有一列樓，共 \(n\) 個，從前面看是 \(f\) 個，從後面看有 \(b\) 個，樓的高度是一個排列

這裡能看見得滿足上升子序列

求有多少種的排列滿足條件

\(n,f,b\le 2000\)

Solution

一定能看到最高的那個樓，所以該正反的序列就都以高度為 \(n\) 的為結尾

然後就是在剩下的 \(n-1\) 個裡面選 \(b-1\) 個構成下降序列扔後面，選 \(f-1\) 個構成上升序列扔前面

所以這 \(n\) 個數被分組了，而且就直接是圓排列……

再想上這幾個組再組合一下可以分成前面的 \(f-1\) 個和後面的 \(b-1\) 個，所以

\[ans=\binom {(b-1)+(f-1)} {f-1}\times S(n-1,(b-1)+(f-1)) \]

\(O(n^2)\) 預處理斯特林數，和組合數（這裡考慮到爆空間，我用了線性的……）

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace yspm{
	inline int read()
	{
		int res=0,f=1; char k;
		while(!isdigit(k=getchar())) if(k=='-') f=-1;
		while(isdigit(k)) res=res*10+k-'0',k=getchar();
		return res*f;
	}
	const int mod=1e9+7;
	const int N=4010;
	int n,f,b,s[N][N],inv[N],fac[N];
	inline int C(int n,int m){return 1ll*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}
	inline void work()
	{
		n=read(); f=read(); b=read(); 
		printf("%lld\n",1ll*s[n-1][b+f-2]*C(b+f-2,f-1)%mod);
		return ;
	}
	inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
	signed main()
	{
		s[1][1]=1; inv[1]=inv[0]=fac[0]=1;
		for(int i=1;i<N;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
		for(int i=2;i<N;++i) inv[i]=mod-1ll*mod/i*inv[mod%i]%mod;
		for(int i=1;i<N;++i) inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%mod;
		for(int i=2;i<N;++i) for(int j=1;j<=i;++j) s[i][j]=add(s[i-1][j-1],1ll*(i-1)*s[i-1][j]%mod);
		int T=read(); while(T--) work();
		return 0;
	}
}
signed main(){return yspm::main();}