考試題-排列 分治+樹形DP
阿新 • • 發佈:2020-07-29
題意:求有多少種排列滿足 $i$ 之前第一個小於 $i$ 的位置是 $q[i]$.
如果沒有 $q[i]$ 的限制,答案就是全排列,然後 $q[i]$ 會限制一些元素之間的大小關係.
直接做的話沒辦法方便地求出元素之間的大小關係.
不妨思考單調棧的過程:如果遇到字首最小值的話肯定會將棧清空.
那麼也就是說如果最小值 $i$ 將序列分為 $L,R$,則 $L,R$ 之間相互不影響.
有上述結論後就可以根據最小值進行分治了,會形成一個樹形結構.
建出樹後令 $f[x]$ 表示以 $x$ 為根的子樹有多少種排列滿足限制,然後轉移的話乘上一個組合數就好了.
code:
#include <cstdio> #include <vector> #include <cstring> #include <algorithm> #define N 500008 #define ll long long #define mod 998244353 #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; int n,edges; int fac[N],inv[N],g[20][N],q[N],Lg[N],hd[N],to[N],nex[N],f[N],size[N]; void add(int u,int v) { nex[++edges]=hd[u]; hd[u]=edges,to[edges]=v; } int qpow(int x,int y) { int tmp=1; for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod) { if(y&1) tmp=(ll)tmp*x%mod; } return tmp; } inline int get_inv(int x) { return qpow(x,mod-2); } void init() { fac[0]=1; for(int i=1;i<N;++i) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod; inv[1]=1; for(int i=2;i<N;++i) inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod; inv[0]=1; for(int i=1;i<N;++i) inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod; } int C(int x,int y) { return (ll)fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod; } void build() { for(int i=1;(1<<i)<=n;++i) for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;++j) { int a=g[i-1][j],b=g[i-1][j+(1<<(i-1))]; if(q[b]<=q[a]) g[i][j]=b; else g[i][j]=a; } Lg[1]=0; for(int i=2;i<N;++i) { Lg[i]=Lg[i>>1]+1; } } int query(int l,int r) { int det=Lg[r-l+1]; return q[g[det][r-(1<<det)+1]]<=q[g[det][l]]?g[det][r-(1<<det)+1]:g[det][l]; } int solve(int l,int r) { if(l>r) return 0; int now=query(l,r); if(q[now]!=l-1) { printf("0\n"); exit(0); } int a=solve(l,now-1),b=solve(now+1,r); if(a) add(now,a); if(b) add(now,b); return now; } void dfs(int x) { f[x]=1; for(int i=hd[x];i;i=nex[i]) { int y=to[i]; dfs(y),size[x]+=size[y]; f[x]=(ll)f[x]*C(size[x],size[y])%mod*f[y]%mod; } ++size[x]; } int main() { // setIO("input"); init(); scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;++i) { scanf("%d",&q[i]); g[0][i]=i; } build(); int p=solve(1,n); dfs(p); printf("%d\n",f[p]); return 0; }