棋盤式（基於連通性）DP模型總結
阿新 • • 發佈：2020-07-30
導語
狀壓DP分兩大類，一類是集合式，另一類就是棋盤式（即基於連通性）。
其中，集合式狀壓DP難度相較後者略大，形式複雜多變。而棋盤式狀壓DP的題目樣式都相差不多，解法也都殊途同歸，因此將這一類題進行總結，不難歸結出一套解題模板。
正文
我們先看以下三個例題。
國王
演算法概述
狀態表示：f[i,j,s]表示已經在前i行放了j個國王，且第i行的狀態為s的方案數。
狀態轉移：考慮第i-1行所有合法狀態x，則f[i,j,s]=∑f[i-1,j-count(s),x]，其中count(s)表示s中國王的個數。
演算法流程：
1.考慮將一行的狀態進行壓縮，然後預處理所有合法狀態。
2.列舉所有合法狀態，對於每一種合法狀態，處理該狀態可由哪些狀態轉移過來。
3.迴圈列舉DP狀態，進行狀態轉移。
參考程式碼
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=12;
int stt[1<<N];
int cnt[1<<N];
int pre[1<<N][1<<N];
int sum[1<<N];
ll f[N][N*N][1<<N];
int n,m,cnt_stt;
bool check(int state)
{
for(int i=0;i<n-1;i++)
if(state>>i&1 && state>>i+1&1)return false;
return true;
}
int count(int state)
{
int ans=0;
for(int i=0;i<n;i++)
if(state>>i&1)ans++;
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=0;i<(1<<n);i++)if(check(i))stt[++cnt_stt]=i,cnt[i]=count(i);
for(int i=1;i<=cnt_stt;i++)
for(int j=1;j<=cnt_stt;j++)
if((stt[i]&stt[j])==0 && check(stt[i]|stt[j]))pre[stt[i]][++sum[stt[i]]]=stt[j];
f[0][0][0]=1;
for(int i=1;i<=n+1;i++)
for(int j=0;j<=m;j++)
for(int s=1;s<=cnt_stt;s++)
{
int a=stt[s];
if(j<cnt[a])continue;
for(int x=1;x<=sum[a];x++)
{
int b=pre[a][x];
f[i][j][a]+=f[i-1][j-cnt[a]][b];
}
}
printf("%lld\n",f[n+1][m][0]);
return 0;
}玉米田
演算法概述
狀態表示：f[i,a]表示已經種了前i行，且第i行的狀態為a的方案數。
狀態轉移：考慮第i-1行的所有合法狀態b，則f[i,a]=∑f[i-1,b]。
演算法流程：
1.預處理所有合法狀態。
2.預處理對於每一個合法狀態，能夠轉移到其的所有合法狀態的集合。
3.迴圈狀態表示，考慮當前行狀態是否與地圖限制相矛盾，然後迴圈狀態轉移。
參考程式碼
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=14,M=1<<12,mod=1e8;
int stt[1<<N];
int cnt[1<<N];
int pre[M][M];
int f[N][1<<N];
int g[N];
int n,m,cnt_stt;
bool check(int state)
{
for(int i=0;i<m-1;i++)
if(state>>i&1 && state>>i+1&1)return false;
return true;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<m;j++)
{
int x;scanf("%d",&x);
g[i]+=!x<<j;
}
for(int i=0;i<(1<<m);i++)if(check(i))stt[++cnt_stt]=i;
for(int i=1;i<=cnt_stt;i++)
for(int j=1;j<=cnt_stt;j++)
if((stt[i]&stt[j])==0)pre[stt[i]][++cnt[stt[i]]]=stt[j];
f[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n+1;i++)
for(int j=1;j<=cnt_stt;j++)
{
int a=stt[j];
if(g[i]&a)continue;
for(int s=1;s<=cnt[a];s++)
{
int b=pre[a][s];
(f[i][a]+=f[i-1][b])%=mod;
}
}
printf("%d\n",f[n+1][0]);
return 0;
}炮兵陣地
演算法概述
狀態表示：
狀態轉移：
演算法流程：
參考程式碼
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=110,M=11;
int stt[1<<M];
int cnt[1<<M];
int f[2][1<<M][1<<M];
int g[N];
int n,m,cnt_stt;
bool check(int state)
{
for(int i=0;i<=m-2;i++)
if((state>>i&1) && (state>>i+1&1 || state>>i+2&1))return false;
return true;
}
int count(int state)
{
int ans=0;
for(int i=0;i<m;i++)ans+=state>>i&1;
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
static char ch[M];
scanf("%s",ch);
for(int j=0;j<m;j++)
if(ch[j]=='H')g[i]+=1<<j;
}
for(int i=0;i<(1<<m);i++)
if(check(i))stt[++cnt_stt]=i,cnt[i]=count(i);
for(int i=1;i<=n+2;i++)
for(int j=1;j<=cnt_stt;j++)
for(int k=1;k<=cnt_stt;k++)
{
int a=stt[j],b=stt[k];
if(g[i-1]&a|g[i]&b)continue;
for(int x=1;x<=cnt_stt;x++)
{
int c=stt[x];
if((a&b)|(a&c)|(b&c))continue;
f[i&1][a][b]=max(f[i&1][a][b],f[i-1&1][c][a]+cnt[b]);
}
}
printf("%d\n",f[n+2&1][0][0]);
return 0;
}