單調佇列總結
阿新 • • 發佈：2020-07-30
定義
單調佇列，即單調遞減或單調遞增的佇列。
入門題(洛谷P1886滑動視窗)
題目描述
分析
如果用暴力求解的話，我們要將這一個長度為\(k\)的區間掃一遍
但是實際上，有很多值是顯然不會對答案產生貢獻的
比如我們要維護該區間的最大值，當前隊尾的的元素是\(4\)，下一個要加進去的元素是\(5\)
此時隊尾一定不會對答案產生貢獻，因為它的值比下一個元素小，而且當前值繼續對答案產生貢獻的時間也更短
這樣，我們就相當於維護了一個單調遞減的佇列
維護區間最小值同理
程式碼
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=1e6+5; typedef long long ll; ll a[maxn]; int q[maxn]; int main(){ int n,k; scanf("%d%d",&n,&k); for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%lld",&a[i]); } int head=1,tail=0; for(int i=1;i<=n;i++){ while(head<=tail && i-q[head]+1>k) head++; while(head<=tail && a[i]<a[q[tail]]) tail--; q[++tail]=i; if(i>=k)printf("%lld ",a[q[head]]); } printf("\n"); head=1,tail=0; for(int i=1;i<=n;i++){ while(head<=tail && i-q[head]+1>k) head++; while(head<=tail && a[i]>a[q[tail]]) tail--; q[++tail]=i; if(i>=k)printf("%lld ",a[q[head]]); } printf("\n"); return 0; }
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題目描述
分析
暴力的\(DP\)方程比較好想，我們設\(f[i]\)為選擇到第\(i\)頭奶牛，並且第\(i\)頭奶牛必須選的最大價值
則\(f[i]=max(f[i],f[j]+sum[i]-sum[j+1])(i-(j+1)<=k)\)
我們只需要用單調佇列搞一下\(f[j]-sum[j+1]\)
程式碼
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=1e6+5; typedef long long ll; ll f[maxn],head,tail,sum[maxn],a[maxn]; int q[maxn]; int main(){ int n,k; scanf("%d%d",&n,&k); for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%lld",&a[i]); } for(int i=1;i<=n;i++){ sum[i]=sum[i-1]+a[i]; if(i<=k) f[i]=sum[i]; } ll ans=0; head=1,tail=1; for(int i=1;i<=n;i++){ while(head<=tail && i-q[head]-1>k) head++; f[i]=max(f[i],f[q[head]]+sum[i]-sum[q[head]+1]); ans=max(ans,f[i]); while(head<=tail && f[i]-sum[i+1]>f[q[tail]]-sum[q[tail]+1]) tail--; q[++tail]=i; } printf("%lld\n",ans); return 0; }
P1725 琪露諾
題目描述
分析
對於每一個給定的\(i\)，我們都可以從\([i-r,i-l]\)區間中選出一個最大的\(f\)值來更新
用一個單調遞減的佇列維護即可
注意佇列中存的是位置，而不是標號
程式碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+5;
int a[maxn],q[maxn],f[maxn];
int main(){
for(int i=0;i<maxn;i++){
f[i]=-0x3f3f3f3f;
}
int n,l,r;
scanf("%d%d%d",&n,&l,&r);
for(int i=0;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
f[0]=0;
int head=1,tail=0,cnt=0;
for(int i=l;i<=n;i++){
while(head<=tail && f[q[tail]]<=f[i-l]) tail--;
q[++tail]=i-l;
while(q[head]+r<i) head++;
f[i]=f[q[head]]+a[i];
}
int ans=-0x3f3f3f3f;
for(int i=n-r+1;i<=n;i++){
ans=max(ans,f[i]);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
P3957 跳房子
題目描述
分析
這道題剛一看上去和上一道題一模一樣，但是佇列裡面儲存的不是位置而是標號
因此我們要用雙重迴圈來維護
程式碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+5;
int n,d,k;
int f[maxn],q[maxn],a[maxn],wz[maxn];
bool jud(int dd){
for(int i=0;i<maxn;i++) f[i]=-0x3f3f3f3f;
memset(q,0,sizeof(q));
int tmin=max(1,d-dd),tmax=d+dd;
int ans=0;
int head=1,tail=0;
f[0]=0;
for(int i=1,j=0;i<=n;i++){
while(wz[i]-wz[j]>=tmin && j<i){
if(f[j]!=-0x3f3f3f3f){
while(head<=tail && f[q[tail]]<=f[j]) tail--;
q[++tail]=j;
}
j++;
}
while(head<=tail && wz[i]-wz[q[head]]>tmax) head++;
if(head<=tail) f[i]=f[q[head]]+a[i];
ans=max(ans,f[i]);
}
if(ans>=k) return 1;
return 0;
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&d,&k);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d",&wz[i],&a[i]);
}
int l=0,r=1e9,mids;
while(l<=r){
mids=(l+r)>>1;
if(jud(mids)) r=mids-1;
else l=mids+1;
}
if(l>1e9) printf("-1\n");
else printf("%d\n",l);
return 0;
}
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