https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss_circle_problem 維基百科Gauss circle problem

https://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-079/S0025-5718-1962-0155788-9/S0025-5718-1962-0155788-9.pdf Calculation of the Number of Lattice Points in the Circle and Sphere

https://reference.wolfram.com/language/ref/SquaresR.html

(https://oeis.org/A319574) 將k寫成n個平方的總和形式的方式數

把\(n\)寫成兩個平方和的方法的數目，等於

\[4(D_+-D_-) \]

其中，\(D_+\)是形如\(4k+1\)的\(n\)的因子數目，\(D_-\)是形如\(4k-1\)的\(n\)的因子數目

舉例，25的因子是\(1,5,25\)，\(D_+=3\)，\(D_-=0\)，\(4(D_+-D_-)=12\)

而\(0^2+5^2,3^2+4^2\)進行各項重新排序，變變正負號，得到12種。

把\(n\)寫成四個平方和的方法的數目\(s(n)\)

\[s(n)=8\sum\limits_{d\%4!=0\ ,d|n}d \]

舉例，12的因子是\(1,2,3,4,6,12\)，

\[s(12)=(1+2+3+6)\times8=96 \]

其中的不同方法數就是由\(1^2+1^2+1^2+3^2\)，\(0^2+4^2+4^2+4^2\)以不同的方法對各項重排次序，或把正整數變負整數得到的各個平方和，得到96種