字典樹

定義

其本質就是用一顆樹來記錄大量的字串，主要適用於長度較小但是個數較多的情況，是一種資料結構。其核心思想是在插入時充分利用已有的字串，也就是合併不同字串的公共字首。字典樹的主要功能就是查詢，每次的查詢只和字串長度有關所以就是$O(1)$複雜度，又由於其結構可以用來求兩個字串的$lcp$。

實現

這裡用的是基地裡的王大佬的板子，程式碼中的$ch$陣列就是樹，第一維是樹的層(我自己瞎叫的，區別於深度)，第二維對應$26$個字母(當然可以擴充，只要改變一下巨集定義裡的$id$就可以了)，$end$陣列是記錄第$i$個節點是否為一個字串的末尾，先上程式碼：

 1 struct Trie{
 
 2     int tot,ch[maxn][30],end[maxn];
 3     void init(){//#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
 4         cl(ch),cl(end),tot=1;   
 5     }
 6     int append(int pos,int c){//在pos節點上插入編號為c('a'為0，依次往後)的字元
 7         int &t=ch[pos][c];
 8         return t?t:t=++tot;
 9     }
10     int insert(string s){//#define id(x) (x-'a')
 

11         int pos=1,i;
12         for(int i=0;i<s.size();i++)
13             pos=append(pos,id(s[i]));
14         end[pos]++;
15         return pos;
16     }
17     bool find(string a){
18         ll u,v;
19         u=0;
20         for(int i=0;i<a.size();i++){
21             v=id(a[i]);
22             if
 
(!ch[u][v]) return 0;
23             u=ch[u][v];
24         }
25         if(!end[u]) return 0;
26         return 1;
27     }
28 }tree;

前兩個函式直接看的話不太清楚，這裡給出一組輸入輸出結果就更清楚了：

 1 input:
 2 rfcytcu
 3 rfcfe
 4 
 5 output:
 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0
 8 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 9 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0
12 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0
14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
15 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

輸出是$ch$陣列，具體程式碼就不貼了。可以看到實際的$ch[0]$就是根節點所在的那一層。在查詢的時候一開始將$pos$賦值為$1$，也就是從$ch[1]$開始查詢，查詢的位置就是字串當前字元的編號，然後如果不為$0$就說明已經插入了該字元，那麼就繼續往下查詢，查詢的層數編號恰好就是這個非零的值。在查詢的時候有三種情況：

1. 當走到被查詢字元的末尾時恰好停止，此時判斷$end[i]$如果不為$0$就說明這裡是一個已經插入的字元說明字元存在；

2. 如果字串已經結束但是還未到任何一個$end$非零的節點說明字元不存在；

3. 如果樹已經到了一個盡頭(就是後面沒有子節點了)，看到第$14$行，此時這一整行為$0$，那麼就說明字串不存在，這得益於在插入時的處理。

思考

1. 求出整個集合中所有的公共字首。

遍歷整棵樹(一開始腦抽了，以為遍歷是指數的，因為要遍歷的話要一層一層的迴圈，但其實由於總的個數是小於等於$n$的，所以其實複雜度是$O(26n)$的)，畫圖知道其實就是總節點數減去葉子節點。用$dfs$每次如果有一行不為零就跳到那一行，如果這個下一行全為$0$就說明這是一個葉子；總節點數就是結構體裡面的$tot$，然後就完了。

2. 給出一個字串，問有多少字串含有該字首。

多開一個數組記錄經過該節點的個數，然後改一下$find$函式，如果存在就返回經過該點的次數。