目錄

• 總述
• 函式說明
• 應用舉例
• 函式實現

總述

如果已知函式表示式，可以通過diff(）函式求取各階導數解析解的方法，並得出結論，高達100階的導數也可以用MATLAB語言在幾秒鐘的時間內直接求出。

如果函式表示式未知，只有實驗資料，在實際應用中經常也有求導的要求，這樣的問題就不能用前面的方法獲得問題的解析解。要求解這樣的問題，需要引入數值演算法得出所需問題的解。由於在MATLAB語言中沒有現成的數值微分函式，所以本文將介紹一種數值微分演算法——中心差分方法。

函式說明

function [dy,dx] = diff_ctr(y,Dt,n)
%diff_ctr
%中心差分演算法實現數值微分
%  呼叫格式：
%    [d_y, d_x] = diff_ctr(y,Dt,n)
%  其中，y為給定的等間距的實測資料構成的向量， Dt為自變數的間距，n為所需的導數階次。 
%  向量d_y為得出的導數向量， 而d_x為相應的自變數向量。注意這兩個向量的長度比y短。
%
% Examples:
%  求函式y=sin(x)/(x^2+4*x+3)的1~4階導數
% MATLAB求解語句：
%  h=0.05; x=0:h:pi; syms x1; 
%  f=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3); y=subs(f,x1,x);
%  [y1,dx1]=diff_ctr(y,h,1); subplot(221), plot(dx1,y1); 
%  [y2,dx2]=diff_ctr(y,h,2); subplot(222), plot(dx2,y2); 
%  [y3,dx3]=diff_ctr(y,h,3); subplot(223), plot(dx3,y3); 
%  [y4,dx4]=diff_ctr(y,h,4); subplot(224), plot(dx4,y4);

% 與解析解對比驗證：
% syms x1; 
% f=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3); 
% yy1=diff(f);   f1=subs(yy1,x1,x); 
% yy2=diff(yy1); f2=subs(yy2,x1,x); 
% yy3=diff(yy2); f3=subs(yy3,x1,x); 
% yy4=diff(yy3); f4=subs(yy4,x1,x);
% % 求四階導數向量的範數（相對誤差）：
% norm(double((y4-f4(4:60))./f4(4:60)))
 

應用舉例

問題： 求函式 $y=\frac{sin x}{x^2+4x+3}$ 的1~4階導數, 並驗證誤差。

程式碼如下：

% // 輸入函式，並求解析解，並代入x向量得出精確解。
h=0.05; x=0:h:pi; syms x1; 
f=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3); 
yy1=diff(f); f1=subs(yy1,x1,x); 
yy2=diff(yy1); f2=subs(yy2,x1,x); 
yy3=diff(yy2); f3=subs(yy3,x1,x); 
yy4=diff(yy3); f4=subs(yy4,x1,x);
%// 比較不同階的導數
y=subs(f,x1,x); 
[y1,dx1]=diff_ctr(y,h,1); subplot(221), plot(x,f1,dx1,y1,':'); 
[y2,dx2]=diff_ctr(y,h,2); subplot(222), plot(x,f2,dx2,y2,':'); 
[y3,dx3]=diff_ctr(y,h,3); subplot(223), plot(x,f3,dx3,y3,':'); 
[y4,dx4]=diff_ctr(y,h,4); subplot(224), plot(x,f4,dx4,y4,':')
%// 定量分析誤差
norm(double((y4-f4(4:60))./f4(4:60)))
 

不同階的導數影象如下：

定量地分析誤差時， 考慮到計算得出的4階導數向量， 其長度比原始對照向量f4短， 所以兩個向量取同樣多點進行比較， 就可以得出數值方法的相對誤差最大值為$3.5 \times 10^{-4}$, 亦即 $0.03 5%$ 。 由此可見， 這裡的數值方法還是很精確的。

函式實現

function [dy,dx] = diff_ctr(y,Dt,n)
y1=[y 0 0 0 0 0 0];
y2=[0 y 0 0 0 0 0];
y3=[0 0 y 0 0 0 0];
y4=[0 0 0 y 0 0 0];
y5=[0 0 0 0 y 0 0];
y6=[0 0 0 0 0 y 0];
y7=[0 0 0 0 0 0 y];
switch n
    case 1
        dy = (-y1+8*y2-8*y4+y5)/12/Dt;
    case 2
        dy = (-y1+16*y2-30*y3+16*y4-y5)/12/Dt^2;
    case 3
        dy = (-y1+8*y2-13*y3+13*y5-8*y6+y7)/8/Dt^3;
    case 4
        dy = (-y1+12*y2-39*y3+56*y4-39*y5+12*y6-y7)/6/Dt^4;
end
dy = dy(5+2*(n>2):end-4-2*(n>2));
dx = ([2:length(dy)+1]+(n>2))*Dt;
 

此函式原始檔可前往下面網址下載：

diff_ctr.m下載通道