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題目描述

一列火車n節車廂，依次編號為1,2,3,…,n。每節車廂有兩種運動方式，進棧與出棧，問n節車廂出棧的可能排列方式有多少種。

輸入描述:

一個數，n(n≤60000)n (n \leq 60000)n(n≤60000)

輸出描述:

一個數s表示n節車廂出棧的可能排列方式

示例1

輸入

3

輸出

5

示例2

輸入

50

輸出

1978261657756160653623774456

思路：

方案一：暴力列舉

對於棧問題，簡單來想只有進棧和出棧的操作

所以直觀的來看，直接暴力列舉每個節點情況

\(\begin{cases}1.把下一個數進棧\\2.把當前棧頂元素出棧（如果棧非空）\end{cases}\)

利用遞迴快速實現，時間複雜度 ：\(O(2^N)\)

在這個時間複雜度下很容易TLE

方案二：遞推優化 \(O(N^2)\)

因為本題只是要求求出有多少種出棧序列並不關心具體方案，於是我們可以使用遞推直接進行統計。設\(S_N\) 表示進棧順序為 \(1，2，3，4...,N\) 時可能的出棧序列總數。

現在假設序列中位置 \(K\) 的地方有一個數 \(a ，a\)前面有\(K−1\)個數要出棧，a後面有\(N−K\)個數要出棧，而出棧的方案總數分別是 $S_{K−1} $ 和 \(S_{N−K}\) 於是這個大問題就轉化成了小問題，我們就要求更小的 \(S_i\)，於是有遞推公式（很好理解）：

方案三：動態規劃 \(O(N^2)\)

動態規劃。這裡我們要有狀態與決策的思想（這個真的很重要，有時與搜尋也異曲同工）。我們設 \(F[i,j]\) 是還有 $i \(個元素未入棧，\)j$ 個元素在棧中的方案總數，初始狀態是\(F[0,0]=1\)，目標狀態是\(F[N,0]F\)，每一次我們的決策有“讓一個數進棧”，“讓棧頂的數出棧”，所以方程有：

\[F[i,j]=F[i−1,j+1]+F[i,j−1] \]

方案四：數學 \(O(N)\)、

該問題等價於求第 \(N\) 項 \(Ctalan\)數，即 \(C^{N}_{2N} / (N + 1)\)