I 君的探險

地下宮殿可以抽象成一張 \(N\) 個點、\(M\) 條邊的無向簡單圖（簡單圖滿足任意兩點之間至多存在一條直接相連的邊），洞穴從 \(0 \sim n − 1\) 編號。目前你並不知道邊有哪些。

每個洞穴都擁有一個光源，光源有開啟、關閉兩種狀態，只有當光源處於開啟狀態時它所在的洞穴才會被照亮。初始時所有的光源都處於關閉狀態，而光源的狀態只能用 I 君發現的神祕機關改變。更具體的，使用神祕機關可以進行如下四種操作：

1. 向機關給定一個編號 \(x\)，機關將會改變 \(x\) 號洞穴，以及與 \(x\) 號洞穴有通路直接相連的洞穴的光源狀態。即原來開啟的光源將會關閉；原來關閉的光源將會開啟。

2. 向機關給定一個編號 \(x\)，機關將會顯示當前 \(x\) 號洞穴光源的狀態。

3. 向機關給定兩個編號 \(x, y\)，表示你確定有一條連線 \(x\) 號洞穴與 \(y\) 號洞穴的通路，並讓機關記錄。

4. 向機關給定一個編號 \(x\)，機關將會判斷與 \(x\) 號洞穴相連的通路是否都已被記錄。

機關在完成上一次操作後才能進行下一次操作。機關不能隨意使用，因此每種操作的使用次數都有限制，分別為 \(L_m, L_q, M, L_c\)。你的任務是，編寫一個程式，幫助 I 君決定如何合理利用神祕機關，從而正確地找到這 \(M\) 條通路。

https://uoj.ac/problem/483

題解

將分部分分進行介紹。

測試點1～5

修改\(x\)之後查詢\(x+1\sim N\)有沒有變化即可。\(n-1\)次modify，\(\binom{N}{2}\)次query。

測試點6～9

使用分治。對當前集合內的點挨個掃描，亮了不管，沒亮點亮，直到亮了\(\frac{N}{2}\)個為止。

這樣集合就被分成了亮了的和沒亮的兩部分，分別遞迴處理即可。

\(N\log_2N\)次modify和query。

有一種更簡單的方法，那就是以\(\frac{1}{2}\)的概率修改每個點。這樣一對匹配點亮了和沒亮的概率都是\(\frac{1}{2}\)，複雜度相同。

測試點10～11

由於父節點編號小於子節點，所以對於單個節點\(x\)

對所有節點考慮，整體二分即可。

\(N\log_2N\)次modify和query。

測試點12～17

在無環圖上，我們希望用一種“剝葉子”的過程，通過逐步刪去度數為\(1\)的點，最後找到整個圖的形態。

我們不妨記每個點的標號為\(1\sim N\)，對每個\(k∈[1,\log_2N]\)，我們把二進位制下第\(k\)位為\(1\)的點拿出來MODIFY，然後QUERY全體點

• 在這個操作下，\(x\)號點顏色改變，當且僅當\(x\)關聯了奇數個第\(k\)位為\(1\)的點

不難發現，對每個\(k\)做一遍這個過程後，我們可以得知每個點關聯的全體點的標號異或和。顯然這個過程花費\(N\log_2 N\)次MODIFY和QUERY

現在，記\(sum[i]\)為\(i\)關聯的全體點（不包括自己）的異或和，考慮一個點\(x\)

• 若\(x\)度數為\(1\)，那麼\(sum[x]\)到\(x\)恰好有一條邊

• 通過兩次QUERY、一次MODIFY，可以判定是否存在一條\(sum[x]\)和\(x\)的邊

• 若存在這樣一條邊，可以令\(sum[sum[x]]=sum[sum[x]]⊕x\)以及\(sum[x]=0\)，然後“斷開”這條邊

造一個佇列\(Q\)，初始時每個點都在其中，每次從\(Q\)中取出一個點\(x\)，檢查\(x\)和\(sum[x]\)之間是否有一條邊

• 若是，把\(sum[