題目連結

一看範圍那麼小，就知道是狀壓暴力容斥。題目可以轉化為，求 \(t\) 個三角形的交的面積，乘一個係數 \(k_t\) 作為貢獻。

首先第一步，求交的面積。由於三角形都是相同方向的，直角邊平行座標軸的等腰直角三角形，我們有除了計算幾何以外更方便的方法。

考慮到如果有交，那麼交一定也是一個三角形。這個三角形的左下角頂點座標很好求，是 \((\max(x_i),\max(y_i))\)。那麼就差求邊長或者斜邊了。顯然，斜邊一定是最靠“左下”的那根直線，即 \(x + y\) 最小的那根直線，這個其實就是直線 \(x+y=\min(x_i+y_i+r_i)\)。這樣，左下角頂點和斜邊方程找到以後，面積也就好求很多了。\(S=\dfrac{(\min(x_i+y_i+r_i)-\max(x_i)-\max(y_i))^2}{2}\)

然後第二步，求容斥係數。我們需要係數 \(k_i\)，滿足 \(t\) 個三角形的交被算了恰好 \([2 \nmid t]\) 次。即

\[\sum_{i=0}^t{t \choose i}k_i=[2 \nmid t] \]

看起來好像二項式反演的式子。我們設 \(g_t=[2 \nmid t]\)，那麼：

\[g_t=\sum_{i=0}^t {t \choose i}k_i \]

\[k_t=\sum_{i=0}^t {t \choose i} (-1)^{t-i}g_i \]

\(i\) 為偶數的時候沒有貢獻，那麼:

\[k_t=(-1)^{t-1}\sum_{i=0}^t {t \choose i}[2 \nmid i] \]

二項式定理：

\[k_t=(-1)^{t-1}\frac{(1+1)^t-(1-1)^t}{2}=(-2)^{t-1} \]

最後直接暴力\(2^n\)容斥即可。

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#include <iostream>
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#include <ctime>
#include <algorithm>
typedef long long ll;
template <typename T> inline void read(T &x) {
	x = 0; char c = getchar(); bool flag = false;
	while (!isdigit(c)) { if (c == '-')	flag = true; c = getchar(); }
	while (isdigit(c)) { x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48); c = getchar(); }
	if (flag)	x = -x;
}
using namespace std;
const int inf = 987654321;
inline void MIN(int &a, int b) {
	if (b < a)	a = b;
}
inline void MAX(int &a, int b) {
	if (b > a)	a = b;
}
int n;
int X[12], Y[12], R[12];
int mi[12];
ll ans;
inline ll Pow(int x) {
	return 1ll * x * x;
}
inline void work(int s) {
	int mn = inf, mxx = -inf, mxy = -inf, ct = 0;
	for (register int i = 0; i < n; ++i) if ((s >> i) & 1) {
		MIN(mn, X[i] + Y[i] + R[i]);
		MAX(mxx, X[i]);
		MAX(mxy, Y[i]);
		++ct;
	}
	ans += 1ll * mi[ct - 1] * Pow(max(0, mn - mxx - mxy));
}
int main() {
	read(n);
	for (register int i = 0; i < n; ++i)	read(X[i]), read(Y[i]), read(R[i]);
	mi[0] = 1;
	for (register int i = 1; i <= n; ++i)	mi[i] = -2 * mi[i - 1];
	int All = (1 << n) - 1;
	for (register int s = 1; s <= All; ++s) {
		work(s);
	}
	printf("%.1lf\n", 0.5 * ans);
	return 0;
}