Solution -「ACM-ICPC BJ 2002」「POJ 1322」Chocolate
阿新 • • 發佈:2020-08-10
\(\mathcal{Description}\)
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\(c\) 種口味的的巧克力,每種個數無限。每次取出一個,取 \(n\) 次,求恰有 \(c\) 個口味出現奇數次的概率。
\(\mathcal{Solution}\)
由於比較板(且要補的題太多),所以會簡略一點。
首先,\(n,m\) 不同奇偶;\(m\) 大於 \(c\) 或 \(n\) 無解,特判掉。考慮到“取出”有序,引入 \(\text{EGF}\)。顯然題目要求:
\[[x^n]\binom{c}{m}\left(\frac{e^x+e^{-x}}2\right)^{c-m}\left(\frac{e^x-e^{-x}}2\right)^m \]
記後面這個式子為 \(G(x)\),推導:
\[\begin{aligned}G(x)&=\binom{c}{m}2^{-c}(e^x+e^{-x})^{c-m}(e^x-e^{-x})^m\\&=\binom{c}{m}2^{-c}\sum_{i=0}^{c-m}\sum_{j=0}^m(-1)^j\binom{c-m}{i}\binom{m}{j}e^{(c-2i-2j)x}\\&=\binom{c}{m}2^{-c}\sum_{i=0}^{c-m}\sum_{j=0}^m(-1)^j\binom{c-m}{i}\binom{m}{j}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(c-2i-2j)^k}{k!}\end{aligned} \]
代入 \(k=n\),\(\mathcal O(n^2)\) 求解,注意精度。
\(\mathcal{Code}\)
#include <cstdio> const int MAXC = 100; int c, n, m; double comb[MAXC + 5][MAXC + 5]; inline void init () { comb[0][0] = 1; for ( int i = 1; i <= MAXC; ++ i ) { comb[i][0] = 1; for ( int j = 1; j <= i; ++ j ) { comb[i][j] = comb[i - 1][j - 1] + comb[i - 1][j]; } } } inline double qkpow ( double a, int b ) { double ret = 1; for ( ; b; a *= a, b >>= 1 ) ret *= b & 1 ? a : 1.0; return ret; } int main () { init (); while ( ~ scanf ( "%d", &c ) && c ) { scanf ( "%d %d", &n, &m ); if ( ( n & 1 ) ^ ( m & 1 ) || m > c || m > n ) { puts ( "0.000" ); continue; } double ans = 0; for ( int i = 0; i <= c - m; ++ i ) { for ( int j = 0; j <= m; ++ j ) { ans += ( j & 1 ? -1 : 1 ) * comb[c - m][i] * comb[m][j] * qkpow ( ( 2.0 * i + 2.0 * j - c ) / c, n ); } } ans = ans * comb[c][m] / qkpow ( 2, c ); printf ( "%.3f\n", ans ); } return 0; }