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隨機數生成器

題目描述

棟棟最近迷上了隨機演算法，而隨機數生成是隨機演算法的基礎。棟棟準備使用線性同餘法（Linear Congruential Method）來生成一個隨機數列，這種方法需要設定四個非負整數引數\(m\)，\(a\)，\(c\)，\(X_0\)，按照下面的公式生成出一系列隨機數 \(\{X_n\}\)：
\(X_{n+1}=\)(\(aX_n+c\))\(mod\ m\)
其中\(mod\ m\)表示前面的數除以\(m\)的餘數。從這個式子可以看出，這個序列的下一個數總是由上一個數生成的。

用這種方法生成的序列具有隨機序列的性質，因此這種方法被廣泛地使用，包括常用的 C++和 Pascal 的產生隨機數的庫函式使用的也是這種方法。

棟棟知道這樣產生的序列具有良好的隨機性，不過心急的他仍然想盡快知道\(X_n\)是多少。由於棟棟需要的隨機數是\(0\)，\(1\)，…，\(g-1\)之間的，他需要將\(X_n\)除以\(g\)取餘得到他想要的數，即\(X_n\ mod\ g\)，你只需要告訴棟棟他想要的數\(X_n\ mod\ g\)是
多少就可以了。

輸入格式

一行\(6\)個用空格分割的整數\(m\)，\(a\)，\(c\)，\(X_0\)，\(n\)和\(g\)，其中\(a\)，\(c\)，\(X_0\)是非負整數，\(m\)，\(n\)，\(g\) 是正整數。

輸出格式

輸出一個數，即\(X_n\ mod\ g\)。

樣例輸入

11 8 7 1 5 3

樣例輸出

2

資料範圍

對於所有資料，\(n \ge 1\)，\(m \ge 1\)，\(a \ge 0\)，\(c \ge 0\)，\(X_0 \ge 0\)，\(1 \ge g \ge 10^8\)。

題解

題目很明顯告訴你了\(X_n\)遞推的性質，那麼這道題很容易想到矩陣快速冪來加速。
矩陣的構造如下：

因為\(X_n\)的遞推式裡有一個常數\(c\)所以我們這裡要加以個常數\(1\)來保證能傳遞。
上程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long m,a,c,x0,n,g;
struct aa{
    long long a[9][9];
};
long long kk(long long x,long long y){
    long long ans=0,u;
    int t=0;
    while(y){
        if(y&1) ans=(ans+x)%m;
        x<<=1;
        x%=m;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
aa cc(aa x,aa y){
    aa ans;
    for(int j=1;j<=2;j++)
        for(int i=1;i<=2;i++)
            ans.a[j][i]=(kk(x.a[j][1],y.a[1][i])+kk(x.a[j][2],y.a[2][i]))%m;
    return ans;
}
aa ksm(aa x,long long p){
    aa ans;
    for(int j=1;j<=2;j++)
        for(int i=1;i<=2;i++)
            ans.a[j][i]=(j==i);
    while(p){
        if(p&1) ans=cc(ans,x);
        x=cc(x,x);
        p>>=1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&m,&a,&c,&x0,&n,&g);
    x0%=m;
    aa x;
    x.a[1][1]=a;
    x.a[1][2]=c;
    x.a[2][1]=0;
    x.a[2][2]=1;
    aa ans=ksm(x,n);
    printf("%lld\n",((kk(ans.a[1][1],x0)+ans.a[1][2])%m)%g);
    return 0;
}