字尾自動機學習筆記

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什麼是字尾自動機

字尾自動機是在一個 \(DAG\) 圖中, 表示出了字尾自動機的所有後綴
顯然字典樹可以解決，但是字典數的節點數是 \(n^2\) 的。
而後綴自動機可以讓節點數量達到線性。
字尾自動機的一個節點代表一個集合，而這個會在後面的集合中提到。

字尾自動機的前置知識

對於一個字串，他在原串中出現了若干次。出現的右端點編號的集合稱為 \(endpos\) 集合。\(e.g.\) 原串為 \(abcab\) 時， \(endpos(ab) = {2,5}\)

現在給出幾個結論 (不難證明)

1. 如果兩個不同子串的 \(endpos\)

集合中有任意一個元素相同，則其中子串一個必然為另一個的字尾

2. 對於任意兩個子串 \(a\) 和 \(b\), \(len_a \le len_b\) 要麼 \(endpos(a) \in endpos(b)\) ，要麼 \(endpos(a) \cap endpos(b) = \emptyset\)

3. 對於 \(endpos\) 相同的子串，我們將它們歸為一個 \(endpos\) 等價類。對於任意一個 \(endpos\) 等價類，將包含在其中的所有子串依長度從大到小排序，則每一個子串的長度均為上一個子串的長度減 \(1\) ,且為上一個子串的字尾 (簡單來說，一個 \(endpos\)

等價類內的串的長度連續)

4. \(endpos\) 等價類個數級別為 \(O(n)\)

這裡要提到一個重要的東西叫做 \(parent\) 樹
一個 \(endpos\)集合, 如果要把他分割成幾個集合, 每一個集合對應一個 \(endpos\) 等價類 (因為 \(endpos\) 等價類如果不是包含關係, 就不能有相同元素。所以只能把一個 \(endpos\) 集合分割成多個 \(endpos\) 集合，然後在其中繼續分割。)
於是這就是一個樹形結構, 稱其為 \(parent\) 樹

以上圖片是一個字串為 \(aababa\) 的例子

在一個 \(endpos\) 等價類 \(a\)

中, 有最長的串, 同時也有最短的串。設該 \(endpos\) 等價類在\(parent\) 樹上的節點的父親為 \(fa(a)\), 設最長的字串長度是 \(len(a)\), 最短的是 \(minlen(a)\), 那麼 \(minlen(fa(a)) + 1= len(a)\)

附上一張在 \(endpos\) 等價類中的最長字串的圖片

這時, 我們的字尾自動機的節點就是這 \(parent\) 樹上的節點！
但是, 字尾自動機的邊不同於 \(parent\) 樹上的邊。

建立一個字尾自動機

先放程式碼

void ins(int x) {
	int p = las, now = las = ++tot;
	cnt[now] = 1, f[now].len = f[p].len + 1;
	for(; p && !f[p].ch[x]; p = f[p].fa) f[p].ch[x] = now;
	if(!p) f[now].fa = 1;
	else {
		int pto = f[p].ch[x];
		if(f[pto].len == f[p].len + 1) f[now].fa = pto;
		else {
			int sp = ++tot;
			f[sp] = f[pto], f[sp].len = f[p].len + 1;
			f[now].fa = f[pto].fa = sp;
			for(; p && f[p].ch[x] == pto; p = f[p].fa) f[p].ch[x] = sp;
		}
	}
}

如果在原來的字尾自動機中增加一個字元 \(x\), 那麼原串的字尾要增加一個字元 \(x\)
他出現的次數為 \(1\), 而且他的最長字串是原來的字尾長度 \(+1\)
於是有程式碼

int p = las, now = las = ++tot; // p 是原來的最長字尾，now是現在的最長字尾，las是記錄上次最長字尾的
cnt[now] = 1, f[now].len = f[p].len + 1; // len 同上面的描述，是最長字串長度, f是表示parent樹的一個endpos等價類的集合, 一個字尾自動機的節點

然後包含之原來的 \(las\) 的節點都被其 \(parent\) 樹上的父親節點所包含, 因此如果在他們的後面再新增一個字元 \(x\), 都會跳到該節點。但是如果他的父親已經有轉移了, 那麼就不用再增加這條邊了。而且如果遇到一個節點已經有字元 \(x\) 的轉移邊了, 他的父親一定也有字元 \(x\) 的轉移邊, 所以就不用繼續往上跳了。
程式碼:

for(; p && !f[p].ch[x]; p = f[p].fa) f[p].ch[x] = now;

考慮如何在\(parent\) 樹上處理 \(now\) 的父親指標。
如果一直往上跳的過程中, 所有節點都沒有向字元 \(x\) 的轉移邊, 就說明字元 \(x\) 是第一次出現(因為根結點也沒有字元 \(x\) 的轉移邊), 所以除了根結點沒有集合能夠包含集合編號為 \(now\) 的節點了, 於是其父親指標指向 \(1\)

if(!p) f[now].fa = 1;

否則 \(p\) 就在有轉移邊 \(x\) 的祖先節點上停下來了。
這時 \(p\) 是原來 \(las\) 的字尾, 都加上一個字元 \(x\) 之後, \(pto\) (假設點 \(p\) 加上一個 \(c\) 得到了 \(pto\)) 也是 \(now\)的字尾。 都是如果該節點 \(p\) 增加一個 \(x\) 得到的最長字尾恰好是原來字尾的最長字尾的長度\(+1\), 那麼就說明了再這個節點代表的所有字串中增加一個 \(x\) 後到達 \(p\) 的 \(endpos\) 一致, 而 \(p\) 又是跳父親時第一個遇見的節點, 所以 \(pto\) 一定是 \(now\) 的最長字尾， \(now\) 在 \(parent\) 樹上的父親就是 \(pto\)。

int pto = f[p].ch[x];
if(f[pto].len == f[p].len + 1) f[now].fa = pto;

那麼 \(len(p) > len(pto) + 1\) 怎麼辦？
說明在 \(p\) 中還有另外一個