B/B+樹及其相關原理筆記-持續更新中
阿新 • • 發佈：2020-08-17
1、B與B+樹的初步瞭解及應用場景
維基百科對B樹的定義為
在電腦科學中，B樹（B-tree）是一種樹狀資料結構，它能夠儲存資料、
對其進行排序並允許以O(log n)的時間複雜度執行進行查詢、順序讀取、
插入和刪除的資料結構。B樹，概括來說是一個節點可以擁有多於2個子節點的二叉查詢樹。
與自平衡二叉查詢樹不同，B-樹為系統最優化大塊資料的讀和寫操作。
B-tree演算法減少定位記錄時所經歷的中間過程，從而加快存取速度。
普遍運用在資料庫和檔案系統。
這裡引用一篇部落格來初步幫助你瞭解兩種資料結構以及它們在磁碟儲存中的相關概念。當然，對於資料結構本身而言，下面將會收藏一些較好的博文供深入學習使用。
2、上一份程式碼吧
我也在這篇程式碼的博主部落格評論區寫了我的幾個疑惑，希望得到回答。
#include <iostream> #include <vector> #include <queue> using namespace std; class BTree{ static const int M = 2; struct BTNode{ int keyNum;//keyNum指key的個數或者最後一個child指標的陣列下標 int key[2 * M - 1]; //關鍵字陣列 struct BTNode* child[2 * M];//孩子結點陣列 /*雖然在邏輯上是兩個節點陣列各個元素相間分佈，但是由於受到語法限制， **我們只能夠開闢兩個陣列以供使用 **對於key[i]關鍵字，其左子樹對應左指標節點child[i]，其右子樹對應右指標節點child[i+1] **這一點需要十分清晰 */ bool isLeaf; }; BTNode* root; //在插入時，保證pNode結點的關鍵字少於2*M-1個 void InsertNonFull(BTNode* pNode, int key); //當child結點有2M-1個關鍵字時，分裂此結點 void SplitChild(BTNode* parent, int i, BTNode* child); //兩個關鍵字數量都小於M的結點合併 void merge(BTNode* parent, BTNode* pNode1, BTNode* pNode2, int index); //找到比pNode結點第一個關鍵字小的最大的關鍵字，也就是前繼結點 int predecessor(BTNode* pNode); //找到後繼結點 int successor(BTNode* pNode); //pNode1向parent要一個結點key[index]，parent向pNode0要一個結點，pNode1關鍵字個數為M-1 void ExchangeLeftNode(BTNode *parent, BTNode* pNode0, BTNode* pNode1, int index); void ExchangeRightNode(BTNode* parent, BTNode* pNode1, BTNode *pNode2, int index); //刪除，結點關鍵字個數不少於M void RemoveNonLess(BTNode* pNode, int key); //磁碟的寫入與讀取操作，不屬於B樹的知識範疇，不實現 void DiskWrite(BTNode* pNode); void DiskRead(BTNode *pNode); BTNode* Search(BTNode* pNode, int key, int &index); public: BTree(); ~BTree(); BTNode* search(int key, int &index); void insert(int key); void remove(int key); //按層級列印。 void PrintRow(); }; BTree::BTree() { root = new BTNode(); root->isLeaf = true; root->keyNum = 0; DiskWrite(root); } BTree::~BTree() { struct BTNode* pNode; queue<struct BTNode*> q; q.push(root); while (!q.empty()){ pNode = q.front(); q.pop(); //bfs的方式進行delete if (pNode->isLeaf) continue;//這裡是不是應該在continue之前先delete？ for (int i = 0; i <= pNode->keyNum; i++) q.push(pNode->child[i]); delete pNode; } } void BTree::DiskWrite(BTNode* pNode) { } void BTree::DiskRead(BTNode *pNode) { } BTree::BTNode* BTree::Search(BTNode* pNode, int key, int &index) { int i = 0; //遍歷pNode的每一個關鍵字，找到第一個大於等於key的下標 while (i<pNode->keyNum&&key>pNode->key[i])i++; if (i < pNode->keyNum&&key == pNode->key[i]){//如果找到關鍵字，返回 index = i; return pNode; } //在i==keyNum或(i<=keyNum&&key!=key[i])時，是掃描到葉子都沒有找到，return NULL //在i<=keyNum&&key!=key[i]時，是key的值應當在child[i]子樹裡，繼續遞迴搜尋 if (pNode->isLeaf)//已經搜到葉子結點，不存在 return NULL; else{ DiskRead(pNode->child[i]); return Search(pNode->child[i], key, index);//在第一個大於key值的孩子節點中遞迴搜尋 } //該函式預設返回的是key對應的關鍵字所在節點的指標 } void BTree::InsertNonFull(BTNode* pNode, int key) {//該函式可描述為：向pNode所指向的子樹中遞迴插入關鍵字key int i = pNode->keyNum - 1; //注意，插入操作是發生在葉子節點的。 //因為每一個非葉子節點的關鍵字一定都是從葉子節點中上升而來的 if (pNode->isLeaf){//如果是葉子結點，直接插入 while (i >= 0 && key < pNode->key[i]){ //遵守關鍵字的遞增排列，所以從最大關鍵字遍歷，依次為新的關鍵字讓位 pNode->key[i + 1] = pNode->key[i]; i--; } pNode->key[i + 1] = key; pNode->keyNum++; DiskWrite(pNode); } else {//如果是非葉子節點 while (i >= 0 && key < pNode->key[i]) i--;//找到第一個小於等於key的下標 i++;//此時key關鍵字應當被插入以pNode->child[i]為根節點的子樹中 DiskRead(pNode->child[i]); if (pNode->child[i]->keyNum == 2 * M - 1){//判斷孩子結點是否有2*M-1個關鍵字，有就需要分裂 SplitChild(pNode, i, pNode->child[i]);//節點關鍵字個數超限，開始節點分裂 if (key>pNode->key[i])//如果key比上移到父節點的元素大 i++; } InsertNonFull(pNode->child[i], key);//已保證孩子結點關鍵字個數少於2*M-1個 //之所以這麼遞迴是因為每一個非葉子節點的關鍵字一定都是從葉子節點中上升而來的 } } void BTree::SplitChild(BTNode* parent, int i, BTNode* child) {//呼叫該函式時，child內的關鍵字個數達到了2*M-1個，需要分解成(M-1) + (M-1) + 1 int j; struct BTNode* pNode = new BTNode(); pNode->isLeaf = child->isLeaf; pNode->keyNum = M - 1; for (j = 0; j < M - 1; j++)//將child結點的 後M-1個 關鍵字賦給新節點 pNode->key[j] = child->key[j + M]; if (!child->isLeaf){//如果child不是葉子結點，將其後M個孩子結點賦給新節點。 for (j = 0; j < M; j++) pNode->child[j] = child->child[j + M]; } child->keyNum = M - 1; for (j = parent->keyNum; j > i; j--) parent->child[j + 1] = parent->child[j];//將child結點的父節點parent下標i以後的結點指標都向後移動一位， parent->child[j + 1] = pNode;//將新生成的結點當成parent的一個孩子 for (j = parent->keyNum - 1; j >= i; j--) //將i後面的關鍵字都向後移動一位 parent->key[j + 1] = parent->key[j]; parent->key[j + 1] = child->key[M - 1];//將孩子結點的中間結點移到父節點的指定位置 parent->keyNum++; DiskWrite(parent); DiskWrite(pNode); DiskWrite(child); } void BTree::merge(BTNode* parent, BTNode* pNode1, BTNode* pNode2, int index) { //合併關鍵字 pNode1->key[M - 1] = parent->key[index];//這裡直接使用M-1合適嗎？？？？？ for (int i = 0; i < M - 1; i++)//將pNode2的關鍵字移到pNode1中 pNode1->key[i + M] = pNode2->key[i]; pNode1->keyNum = 2 * M - 1; //合併非葉子節點的child指標 if (!pNode1->isLeaf){//如果不是葉子，將pNode2的孩子指標也移到pNode1中 for (int i = 0; i < M; i++) pNode1->child[i + M] = pNode2->child[i]; } //整理parent節點上的資料 for (int i = index; i < parent->keyNum; i++){//將父節點index以後的關鍵字以及孩子指標都向前移動一位 parent->key[i] = parent->key[i + 1]; parent->child[i + 1] = parent->child[i + 2]; } parent->keyNum--; delete pNode2; } //所謂前繼節點，就是key[i]左側指標child[i]所指向的B樹中的最大關鍵字 int BTree::predecessor(BTNode* pNode) {//在pNode節點指向的樹中找到一個最大關鍵字 while (!pNode->isLeaf) pNode = pNode->child[pNode->keyNum]; return pNode->key[pNode->keyNum - 1]; } //所謂後繼節點，就是key[i]右側指標child[i+1]所指向的B樹中的最小關鍵字 int BTree::successor(BTNode* pNode) { while (!pNode->isLeaf) pNode = pNode->child[0]; return pNode->key[0]; } void BTree::ExchangeLeftNode(BTNode *parent, BTNode* pNode0, BTNode* pNode1, int index) { for (int i = pNode1->keyNum; i > 0; i--) pNode1->key[i] = pNode1->key[i - 1];//pNode1結點所有關鍵字向後移動一位 pNode1->key[0] = parent->key[index];//第0個關鍵字來自父節點 pNode1->keyNum++; parent->key[index] = pNode0->key[pNode0->keyNum - 1];//父節點的index處的關鍵字來自pNode0的最大關鍵字 if (!pNode0->isLeaf){//如果不是葉子結點， for (int i = pNode1->keyNum; i > 0; i--)//將pNode1的孩子指標都向後移動一位，並將pNode0的最後一個孩子指標賦給它的第一個 pNode1->child[i] = pNode1->child[i - 1]; pNode1->child[0] = pNode0->child[pNode0->keyNum]; } pNode0->keyNum--; } void BTree::ExchangeRightNode(BTNode* parent, BTNode* pNode1, BTNode *pNode2, int index) { pNode1->key[pNode1->keyNum] = parent->key[index]; pNode1->keyNum++; parent->key[index] = pNode2->key[0]; for (int i = 0; i < pNode2->keyNum - 1; i++) pNode2->key[i] = pNode2->key[i + 1]; if (!pNode2->isLeaf){ pNode1->child[pNode1->keyNum] = pNode2->child[0]; for (int i = 0; i < pNode2->keyNum; i++) pNode2->child[i] = pNode2->child[i + 1]; } pNode2->keyNum--; } void BTree::RemoveNonLess(BTNode* pNode, int key) { if (pNode->isLeaf){//到了葉子結點，直接刪除 int i = 0; while (i<pNode->keyNum&&key>pNode->key[i]) i++; if (i < pNode->keyNum&&key == pNode->key[i]){ while (i < pNode->keyNum - 1){ pNode->key[i] = pNode->key[i + 1]; i++; } pNode->keyNum--; } else { cout << "not found!" << endl; } } else { int i = 0; while (i < pNode->keyNum&&key > pNode->key[i])//找到第一個大於等於key的關鍵字 i++; if (i < pNode->keyNum&&key == pNode->key[i]){//在結點中找到要刪除的關鍵字 struct BTNode* pNode1 = pNode->child[i];//key[i]左側指標 struct BTNode* pNode2 = pNode->child[i + 1];//key[i]右側指標 if (pNode1->keyNum >= M){//如果關鍵字左邊的孩子結點的關鍵字數大於等於M int target = predecessor(pNode1);//將其前繼結點移到pNode中 pNode->key[i] = target; RemoveNonLess(pNode1, target);//遞迴刪除target } else if (pNode2->keyNum >= M){//右邊，同理 int target = successor(pNode2); pNode->key[i] = target; RemoveNonLess(pNode2, target); } else { merge(pNode, pNode1, pNode2, i);//都小於M，合併(刪除pNode2保留pNode1) RemoveNonLess(pNode1, key); } } else {//不在此結點中 struct BTNode *pNode1 = pNode->child[i]; struct BTNode *pNode0 = NULL; struct BTNode *pNode2 = NULL; if (i>0) pNode0 = pNode->child[i - 1];//左結點 if (i < pNode->keyNum) pNode2 = pNode->child[i + 1];//右結點 if (pNode1->keyNum == M - 1){//如果要刪除的孩子結點關鍵字個數為M-1 if (i > 0 && pNode0->keyNum >= M){//如果左鄰結點至少有M個關鍵字，向其借一個 ExchangeLeftNode(pNode, pNode0, pNode1, i - 1); } else if (i < pNode->keyNum&&pNode2->keyNum >= M){//同理， ExchangeRightNode(pNode, pNode1, pNode2, i); } else if (i>0){//兩個相鄰結點都只有M-1個關鍵字，合併 merge(pNode, pNode0, pNode1, i - 1); pNode1 = pNode0; } else{ merge(pNode, pNode1, pNode2, i); } RemoveNonLess(pNode1, key); } else{ RemoveNonLess(pNode1, key); } } } } BTree::BTNode* BTree::search(int key, int &index) { return Search(root, key, index); } void BTree::insert(int key) { struct BTNode* r = root; if (root->keyNum == 2 * M - 1){//根節點特殊處理，如果根節點關鍵字個數為2*M-1， struct BTNode* pNode = new BTNode();//新建一個結點作為新的根節點，並將現在的根節點作為 root = pNode;//新根節點的孩子結點 pNode->isLeaf = false; pNode->keyNum = 0; pNode->child[0] = r; SplitChild(pNode, 0, r);//孩子結點r有2*M-1個關鍵字 InsertNonFull(pNode, key); } else InsertNonFull(r, key); } void BTree::remove(int key) { if (root->keyNum == 1){//如果根節點只有兩個孩子 struct BTNode* pNode1 = root->child[0]; struct BTNode* pNode2 = root->child[1]; if (pNode1->keyNum == M - 1 && pNode2->keyNum == M - 1){//且兩個孩子都只有M-1個關鍵字，合併 //為什麼感覺這裡沒有刪除key的操作呢？？？？？ merge(root, pNode1, pNode2, 0); delete root; root = pNode1; } else { RemoveNonLess(root, key); } } else { RemoveNonLess(root, key); } } void BTree::PrintRow() { struct BTNode* pNode; queue<struct BTNode*> q; q.push(root); while (!q.empty()){ pNode = q.front(); q.pop(); cout << "[ "; for (int i = 0; i < pNode->keyNum; i++) cout << pNode->key[i] << " "; cout << "]" << endl; if (pNode->isLeaf) continue; for (int i = 0; i <= pNode->keyNum; i++) q.push(pNode->child[i]); } } int main(void) { BTree tree; tree.insert('c'); tree.insert('n'); tree.insert('g'); tree.insert('a'); tree.insert('h'); tree.insert('e'); tree.insert('k'); tree.insert('q'); tree.insert('m'); tree.insert('f'); tree.insert('w'); tree.insert('l'); tree.insert('t'); tree.insert('z'); tree.insert('d'); tree.insert('p'); tree.insert('r'); tree.insert('x'); tree.insert('y'); tree.insert('s'); tree.remove('n'); tree.remove('b'); tree.PrintRow(); }
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