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RSA演算法

阿新 • • 發佈：2020-08-18

RSA是目前使用最廣泛的公鑰密碼體制之一。它是1977年由羅納德·李維斯特（Ron Rivest）、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir）和倫納德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。當時他們三人都在麻省理工學院工作。RSA就是他們三人姓氏開頭字母拼在一起組成的。
RSA演算法的安全性基於RSA問題的困難性，也就是基於大整數因子分解的困難性上。但是RSA問題不會比因子分解問題更加困難，也就是說，在沒有解決因子分解問題的情況下可能解決RSA問題，因此RSA演算法並不是完全基於大整數因子分解的困難性上的。

1. RSA演算法描述

1.1 RSA產生公私鑰對

具體例項講解如何生成金鑰對

  • 1.隨機選擇兩個不相等的質數p和q。
    alice選擇了61和53。（實際應用中，這兩個質數越大，就越難破解。）

  • 2.計算p和q的乘積n。
    n = 61×53 = 3233
    n的長度就是金鑰長度。3233寫成二進位制是110010100001，一共有12位，所以這個金鑰就是12位。實際應用中，RSA金鑰一般是1024位，重要場合則為2048位。

  • 3.計算n的尤拉函式φ(n)。稱作L
    根據公式φ(n) = (p-1)(q-1)
    alice算出φ(3233)等於60×52，即3120。

  • 4.隨機選擇一個整數e，也就是公鑰當中用來加密的那個數字

    條件是1< e < φ(n)，且e與φ(n) 互質。
    alice就在1到3120之間，隨機選擇了17。（實際應用中，常常選擇65537。）

  • 5.計算e對於φ(n)的模反元素d。也就是金鑰當中用來解密的那個數字
    所謂"模反元素"就是指有一個整數d，可以使得ed被φ(n)除的餘數為1。ed ≡ 1 (mod φ(n))
    alice找到了2753，即17*2753 mode 3120 = 1

  • 6.將n和e封裝成公鑰，n和d封裝成私鑰。
    在alice的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公鑰就是 (3233,17)，私鑰就是（3233, 2753）。

1.2 RSA加密

首先對明文進行位元串分組，使得每個分組對應的十進位制數小於n，然後依次對每個分組m做一次加密，所有分組的密文構成的序列就是原始訊息的加密結果，即m滿足0<=m<n，則加密演算法為：
c≡ m^e mod n; c為密文，且0<=c<n。

1.3 RSA解密

對於密文0<=c<n，解密演算法為：
m≡ c^d mod n;

1.4 RSA簽名驗證

RSA密碼體制既可以用於加密又可以用於數字簽名。下面介紹RSA數字簽名的功能。
已知公鑰（e，n），私鑰d

  • 1.對於訊息m簽名為：sign ≡ m ^d mod n
  • 2.驗證：對於訊息簽名對（m，sign），如果m ≡ sign ^e mod n，則sign是m的有效簽名

2.RSA公開金鑰密碼體制

所謂的公開金鑰密碼體制就是使用不同的加密金鑰與解密金鑰，是一種“由已知加密金鑰推匯出解密金鑰在計算上是不可行的”密碼體制。

在公開金鑰密碼體制中，加密金鑰（即公開金鑰）PK是公開資訊，而解密金鑰（即祕密金鑰）SK是需要保密的。加密演算法E和解密演算法D也都是公開的。雖然解密金鑰SK是由公開金鑰PK決定的，但卻不能根據PK計算出SK。

根據金鑰的使用方法，可以將密碼分為對稱密碼和公鑰密碼

對稱密碼：加密和解密使用同一種金鑰的方式

公鑰密碼：加密和解密使用不同的密碼的方式，因此公鑰密碼通常也稱為非對稱密碼。

3. Java實現RSA生成公私鑰並加解密

3.1程式碼如下

package com.tencent.blue.utils;

import org.apache.tomcat.util.codec.binary.Base64;
import org.apache.tomcat.util.http.fileupload.IOUtils;

import javax.crypto.Cipher;
import java.io.ByteArrayOutputStream;
import java.security.*;
import java.security.interfaces.RSAPrivateKey;
import java.security.interfaces.RSAPublicKey;
import java.security.spec.InvalidKeySpecException;
import java.security.spec.PKCS8EncodedKeySpec;
import java.security.spec.X509EncodedKeySpec;
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;

/**
 * Created by cuiran on 19/1/9.
 */
public class RSAUtils {

    public static final String CHARSET = "UTF-8";
    public static final String RSA_ALGORITHM = "RSA";


    public static Map<String, String> createKeys(int keySize){
        //為RSA演算法建立一個KeyPairGenerator物件
        KeyPairGenerator kpg;
        try{
            kpg = KeyPairGenerator.getInstance(RSA_ALGORITHM);
        }catch(NoSuchAlgorithmException e){
            throw new IllegalArgumentException("No such algorithm-->[" + RSA_ALGORITHM + "]");
        }

        //初始化KeyPairGenerator物件,金鑰長度
        kpg.initialize(keySize);
        //生成密匙對
        KeyPair keyPair = kpg.generateKeyPair();
        //得到公鑰
        Key publicKey = keyPair.getPublic();
        String publicKeyStr = Base64.encodeBase64URLSafeString(publicKey.getEncoded());
        //得到私鑰
        Key privateKey = keyPair.getPrivate();
        String privateKeyStr = Base64.encodeBase64URLSafeString(privateKey.getEncoded());
        Map<String, String> keyPairMap = new HashMap<String, String>();
        keyPairMap.put("publicKey", publicKeyStr);
        keyPairMap.put("privateKey", privateKeyStr);

        return keyPairMap;
    }

    /**
     * 得到公鑰
     * @param publicKey 金鑰字串（經過base64編碼）
     * @throws Exception
     */
    public static RSAPublicKey getPublicKey(String publicKey) throws NoSuchAlgorithmException, InvalidKeySpecException {
        //通過X509編碼的Key指令獲得公鑰物件
        KeyFactory keyFactory = KeyFactory.getInstance(RSA_ALGORITHM);
        X509EncodedKeySpec x509KeySpec = new X509EncodedKeySpec(Base64.decodeBase64(publicKey));
        RSAPublicKey key = (RSAPublicKey) keyFactory.generatePublic(x509KeySpec);
        return key;
    }

    /**
     * 得到私鑰
     * @param privateKey 金鑰字串（經過base64編碼）
     * @throws Exception
     */
    public static RSAPrivateKey getPrivateKey(String privateKey) throws NoSuchAlgorithmException, InvalidKeySpecException {
        //通過PKCS#8編碼的Key指令獲得私鑰物件
        KeyFactory keyFactory = KeyFactory.getInstance(RSA_ALGORITHM);
        PKCS8EncodedKeySpec pkcs8KeySpec = new PKCS8EncodedKeySpec(Base64.decodeBase64(privateKey));
        RSAPrivateKey key = (RSAPrivateKey) keyFactory.generatePrivate(pkcs8KeySpec);
        return key;
    }

    /**
     * 公鑰加密
     * @param data
     * @param publicKey
     * @return
     */
    public static String publicEncrypt(String data, RSAPublicKey publicKey){
        try{
            Cipher cipher = Cipher.getInstance(RSA_ALGORITHM);
            cipher.init(Cipher.ENCRYPT_MODE, publicKey);
            return Base64.encodeBase64URLSafeString(rsaSplitCodec(cipher, Cipher.ENCRYPT_MODE, data.getBytes(CHARSET), publicKey.getModulus().bitLength()));
        }catch(Exception e){
            throw new RuntimeException("加密字串[" + data + "]時遇到異常", e);
        }
    }

    /**
     * 私鑰解密
     * @param data
     * @param privateKey
     * @return
     */

    public static String privateDecrypt(String data, RSAPrivateKey privateKey){
        try{
            Cipher cipher = Cipher.getInstance(RSA_ALGORITHM);
            cipher.init(Cipher.DECRYPT_MODE, privateKey);
            return new String(rsaSplitCodec(cipher, Cipher.DECRYPT_MODE, Base64.decodeBase64(data), privateKey.getModulus().bitLength()), CHARSET);
        }catch(Exception e){
            throw new RuntimeException("解密字串[" + data + "]時遇到異常", e);
        }
    }

    /**
     * 私鑰加密
     * @param data
     * @param privateKey
     * @return
     */

    public static String privateEncrypt(String data, RSAPrivateKey privateKey){
        try{
            Cipher cipher = Cipher.getInstance(RSA_ALGORITHM);
            cipher.init(Cipher.ENCRYPT_MODE, privateKey);
            return Base64.encodeBase64URLSafeString(rsaSplitCodec(cipher, Cipher.ENCRYPT_MODE, data.getBytes(CHARSET), privateKey.getModulus().bitLength()));
        }catch(Exception e){
            throw new RuntimeException("加密字串[" + data + "]時遇到異常", e);
        }
    }

    /**
     * 公鑰解密
     * @param data
     * @param publicKey
     * @return
     */

    public static String publicDecrypt(String data, RSAPublicKey publicKey){
        try{
            Cipher cipher = Cipher.getInstance(RSA_ALGORITHM);
            cipher.init(Cipher.DECRYPT_MODE, publicKey);
            return new String(rsaSplitCodec(cipher, Cipher.DECRYPT_MODE, Base64.decodeBase64(data), publicKey.getModulus().bitLength()), CHARSET);
        }catch(Exception e){
            throw new RuntimeException("解密字串[" + data + "]時遇到異常", e);
        }
    }

    private static byte[] rsaSplitCodec(Cipher cipher, int opmode, byte[] datas, int keySize){
        int maxBlock = 0;
        if(opmode == Cipher.DECRYPT_MODE){
            maxBlock = keySize / 8;
        }else{
            maxBlock = keySize / 8 - 11;
        }
        ByteArrayOutputStream
                out = new ByteArrayOutputStream();
        int offSet = 0;
        byte[] buff;
        int i = 0;
        try{
            while(datas.length > offSet){
                if(datas.length-offSet > maxBlock){
                    buff = cipher.doFinal(datas, offSet, maxBlock);
                }else{
                    buff = cipher.doFinal(datas, offSet, datas.length-offSet);
                }
                out.write(buff, 0, buff.length);
                i++;
                offSet = i * maxBlock;
            }
        }catch(Exception e){
            throw new RuntimeException("加解密閥值為["+maxBlock+"]的資料時發生異常", e);
        }
        byte[] resultDatas = out.toByteArray();
        IOUtils.closeQuietly(out);
        return resultDatas;
    }

    public static void main (String[] args) throws Exception {
        Map<String, String> keyMap = RSAUtils.createKeys(1024);
        String  publicKey = keyMap.get("publicKey");
        String  privateKey = keyMap.get("privateKey");
        System.out.println("公鑰: \n\r" + publicKey);
        System.out.println("私鑰： \n\r" + privateKey);

        System.out.println("公鑰加密——私鑰解密");
        String str = "code_cayden";
        System.out.println("\r明文：\r\n" + str);
        System.out.println("\r明文大小：\r\n" + str.getBytes().length);
        String encodedData = RSAUtils.publicEncrypt(str, RSAUtils.getPublicKey(publicKey));
        System.out.println("密文：\r\n" + encodedData);
        String decodedData = RSAUtils.privateDecrypt(encodedData, RSAUtils.getPrivateKey(privateKey));
        System.out.println("解密後文字: \r\n" + decodedData);


    }


}

　　

3.2 執行結果如下

執行結果



作者：一杯茶一本書
連結：https://www.jianshu.com/p/ff2b538a77e2

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