NOI2020 遊記

兩位捧杯爺鎮樓。

背景

省選day1T1爆零的情況下意外混進了省隊（D類）。

做了往年的題，感覺自己實力確實不太夠。比如說，2018年的簽到題（kruskal重構樹）和2019年的簽到題（斜率優化），憑我自己的能力都無法做出（“思維”和“演算法的積累”兩方面來講，都是題目難度>我的水平）。

2016和2017年的題，我倒是能做出一兩道（比如2016的Day2T1“區間”和2017Day1T2的蚯蚓排隊），但是也有簽到題我做不出來（比如2016的Day1T1“優秀的拆分”我只會90分；2017的Day2T1“遊戲”我只想到先\(3^d\)列舉再2-SAT，看了題解才知道可以優化為先\(2^d\)

上述列舉的這些都是當年的“簽到題”，更不必說更難的題了，我只能打打暴力。

事實上，按照往年的情況，如果做出了這些簽到題，暴力不掛分的話，就能拿到銀牌了。不過壞訊息是簽到題似乎一年比一年難了...

Day-1（8.16），Day0（8.17），大家都在一起快樂狼人殺。然後都被李曙查水錶了。

試機的題是：NOI2019 Day1T2機器人，NOI2019 Day1T3 序列，NOI2019 Day2T3 I君的商店。

試機後，大家聊天的句式都是：“哎，明天會不會要考xxx啊，如果考xxx我就沒了啊...。我沒了啊...”。其中“xxx”可以是任何一種我聽都沒聽過的演算法，可能已經遠高於歷年NOI的難度了，我不知道大家為什麼都要這麼說...。是為了搞別人心態嗎？還是為了顯示自己聽過別人不知道的演算法呢？

哎，可能大家只是習慣性地假...

晚上李曙給我囑咐了幾句：兩天都會各有一道簽到題，爭取拿到70分。剩下的題每道題打30分暴力。每天130分，就能穩拿Ag了。

正好我的目標也是拿到Ag。所以對這番分析深以為然。

Day1

\(50+32+40=122\)

昨晚10點就睡了，半夜4:19醒了一次，又睡到6:40自然醒起床。可以說睡眠是很充足的，考試時精神也很好。上午考試前李曙給我們拍了個合照，本來我和djq站在一起，然後李曙一波安排，我就和dxm換了位置（你品，你細品 /滑稽）。

本著先在簽到題拿高分的想法，我先看T1。是個圖論題，而且沒什麼想法（我好像經常對圖論題毫無思路...，無論這題本身是什麼難度...）。我想是不是以1為根，搜出dfs樹，然後看有沒有環？然後對環做揹包？看上去很奇怪，於是先看T2。

T2雖然題面很長，但看下來倒是覺得非常自然，也很好懂。看到前幾個點\(m\)很小，一下就能想到做容斥。我粗略地以為時間複雜度是\(O(2^m\cdot \text{poly}(m))\)，然後以為自己能拿到40分。然後就繼續去看T3了。此時時間大概是8:18。

T3是個“很多維數點”...。看起來是個資料結構題。\(O(nm\log n)\)是很簡單的（考完後聽別人一說才想到，做個二維字首和就變成\(O(nm)\)了。不過得分是一樣的，所以也不重要，只是體現了我智商很低...）。部分分A（\(c_1=1,c_2=n\)），我想了想，離線？樹套樹？分治？貌似都不對。好像可以莫隊，不過是\(O((n+m)\sqrt{n}\log {n})\)的，不知道能不能過\(10^5\)...。沒太多想，就先去寫T2暴力了。

先寫了個\(O(2^n)\)暴力。因為後面不管些什麼都可以用它拍。寫完這個9:06。然後繼續寫“\(O(2^m\cdot \text{poly}(m))\)暴力”。發現自己一開始想錯了，這個暴力並不是\(O(2^m\cdot \text{poly}(m))\)而是\(O(2^m\cdot n)\)。可能只能拿20分，這就要低於李曙給我定的計劃了。於是又進一步想想，發現可以用樹鏈剖分優化到\(O(2^mm\log^2n)\)，期望拿到32分。雖然比之前以為的40分低了一些，但還是達到了李曙說的30分。

T2似乎後面還能再搞一個樹形DP：\(dp[i][j]\)表示第\(i\)個點向上的前\(j\)條邊裡必須至少有一個重要邊。我不太清楚它是\(O(n^2)\)還是\(O(n^3)\)的，不過應該還能再拿到一些分。但是看分不多我又不是很確定，就先沒寫這個。決定穩妥一點，先寫T1,T3暴力，最後再寫這個DP。此時9:52（畢竟寫樹鏈剖分還是要花不少時間的）。

再看T1，首先發現我原來那個“找出所有環然後做揹包”的思路徹底假了，因為環的數量可以是指數級的。不過很快驚喜地發現可以直接在圖上做DP：設\(dp[i][j]\)表示第\(i\)天到達節點\(j\)，能獲得的最大收益。轉移直接枚舉出邊即可。時間複雜度\(O(T(n+m))\)。可以得到40分。然後又發現下面兩點：圖是一個環的部分分很簡單，於是寫了。

現在是10:44，T1總共有50分。感覺不錯，先去上了個廁所。此時想到，\(T\)這麼大，應該是矩陣快速冪。不過10秒鐘後，我把自己否決了。我在草稿紙上寫下：矩陣快速冪(x)：max不能矩乘。考完試才知道是我naive了。哎，完美地記錄了我的無知...

雖然T1沒拿到預期的70分，不過我看沒有除快速冪外的其他思路，就沒有繼續糾結，轉而去寫T3部分分。\(O(nm\log n)\)的部分分就是用樹狀陣列維護，非常好寫。部分分A，我思考以後發現分治、樹套樹，這些似乎都不靠譜，於是嘗試去寫sqrt log的莫隊。寫完以後一測大樣例，沒過！我又對拍了小資料，才發現是我樹狀陣列寫錯了。簡而言之就是，改變了不該改變的引數，偷懶沒有使用替身變數導致的錯誤（都是平時習慣不好，如果函式都寫const int& 就沒這個問題了）。又自己造了一組\(10^5,2\times10^5\)的隨機資料，實測3.2s左右，感覺能過（下午查分發現只跑了1.8s）。

搞完這些，已經12:15了。這時候我發現一個大問題，T1的對拍的時候，因為一些不熟悉linux系統而導致的錯誤，我的程式其實沒拍上...。修正了這個錯誤後，我重新對拍了T1,T2。T2過拍了。T1卻沒有過。（一開始搞錯了，以為兩個都沒有過。反正那2分鐘還挺刺激的）。好在發現T1是個小錯誤，改了就好了。

12:40左右試圖開始寫T2的樹形DP部分分。但是時間不夠了，沒寫完。最後就檢查了一下檔案啥的，提交提交，就結束了。

嗯。整個過程大概就是這樣了。雖然分比同學低不少，但是沒有掛分。又想到我的同學都是集訓隊水平，所以我感覺，也還行？然後李曙又笑嘻嘻地說不錯不錯（雖然他和誰都這麼說），所以我還挺開心的。

總結反思？還沒細想，以後再更吧。