鴿巢原理(抽屜原理)

基本描述

桌子上有是個蘋果，把這十個蘋果放到九個抽屜裡，無論怎麼放，我們會發現至少會有一個抽屜裡面至少放兩個蘋果。這一現象就是所說的“抽屜原理”。
更一般的表述：如果每一個抽屜代表一個集合，每一個蘋果就可以代表一個元素。加入有n+1個元素放到n個集合中去，其中必定有一個集合裡至少有兩個元素。

第一抽屜原理

原理1

把多餘n+1個物體放到n個抽屜裡，則至少有一個抽屜裡的東西不少於兩件。

原理2

把多餘mn+1(n不為0)個物體放到n個抽屜裡面，則至少有一個抽屜裡面不少於(m+1)的物體。

第二抽屜原理

把(mn -1 )個物體放入n個抽屜中，其中必須有一個抽屜不多餘(m-1)個物體。

舉例

屬相問題

屬相有12個，那麼任意37個人中，至少有幾個人屬相相同？

上取整(37 / 12) = 4

招聘問題

有300人到招聘會求職，其中軟體設計有100人，市場營銷有80人，財務管理有70人，人力資源管理有50人。那麼至少有多少人找到工作才能保證一定有70人找的工作專業相同？

考慮最差情況，即軟體設計，市場營銷，財務管理均招了69人，人力資源管理招了50人，此時再多招1人，就有70人找的工作專業相同了。
故答案為 69*3 + 50 + 1 = 258

襯衫問題

一個抽屜裡有20件襯衫，其中4件是藍的，7件是灰的，9件是紅的，則應從中隨意取出多少件才能保證有5件是同顏色的？

考慮最差情況，即已經取出了4件藍色，4件灰色，4件紅色，再多取出1件就滿足條件。
故答案為 4 + 4 + 4 + 1 = 13。

例題：

1.poj 2356:https://vjudge.net/problem/POJ-2356

題意：給你n個大於0的數，在n中取k個數且其和為n的倍數，輸出k和每個數。

思路：我們可以從字首和考慮，如果sum[i]%n那麼直接輸出，否則考慮sum[i]%n因為這n個數一定是屬於[1,n-1]這就相當於把n個物品放到n-1個抽屜裡，那麼一定存在sum[i]%n=sum[j]%n，那麼（sum[j]-sum[i])%n==0,假設j>i，那麼我們只要輸出ai-aj就好了。

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 #include<time.h>
  3 #include <set>
  4 #include <map>
  5 #include <stack>
  6 #include <cmath>
  7 #include <queue>
  8 #include <cstdio>
  9 #include <string>
 10 #include <vector>
 11 #include <cstring>
 12 #include <utility>
 13 #include <cstring>
 14 #include <iostream>
 15 #include <algorithm>
 16 #include <list>
 17 using namespace std;
 18 #define eps 1e-10
 19 #define PI acos(-1.0)
 20 #define lowbit(x) ((x)&(-x))
 21 #define zero(x) (((x)>0?(x):-(x))<eps)
 22 #define mem(s,n) memset(s,n,sizeof s);
 23 #define ios {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);}
 24 typedef long long ll;
 25 typedef unsigned long long ull;
 26 const int maxn=1e5+5;
 27 const int Inf=0x7f7f7f7f;
 28 const ll Mod=999911659;
 29 //const int N=3e3+5;
 30 bool isPowerOfTwo(int n) { return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0; }//判斷一個數是不是 2 的正整數次冪
 31 int modPowerOfTwo(int x, int mod) { return x & (mod - 1); }//對 2 的非負整數次冪取模
 32 int getBit(int a, int b) { return (a >> b) & 1; }// 獲取 a 的第 b 位，最低位編號為 0
 33 int Max(int a, int b) { return b & ((a - b) >> 31) | a & (~(a - b) >> 31); }// 如果 a>=b,(a-b)>>31 為 0，否則為 -1
 34 int Min(int a, int b) { return a & ((a - b) >> 31) | b & (~(a - b) >> 31); }
 35 ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
 36 ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}
 37 int Abs(int n) {
 38   return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31);
 39   /* n>>31 取得 n 的符號，若 n 為正數，n>>31 等於 0，若 n 為負數，n>>31 等於 -1
 40      若 n 為正數 n^0=n, 數不變，若 n 為負數有 n^(-1)
 41      需要計算 n 和 -1 的補碼，然後進行異或運算，
 42      結果 n 變號並且為 n 的絕對值減 1，再減去 -1 就是絕對值 */
 43 }
 44 ll binpow(ll a, ll b,ll c) {
 45   ll res = 1;
 46   while (b > 0) {
 47     if (b & 1) res = res * a%c;
 48     a = a * a%c;
 49     b >>= 1;
 50   }
 51   return res%c;
 52 }
 53 void extend_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
 54 {
 55     if(b==0) {
 56         x=1,y=0;
 57         return;
 58     }
 59     extend_gcd(b,a%b,x,y);
 60     ll tmp=x;
 61     x=y;
 62     y=tmp-(a/b)*y;
 63 }
 64 ll mod_inverse(ll a,ll m)
 65 {
 66     ll x,y;
 67     extend_gcd(a,m,x,y);
 68     return (m+x%m)%m;
 69 }
 70 ll eulor(ll x)
 71 {
 72    ll cnt=x;
 73    ll ma=sqrt(x);
 74    for(int i=2;i<=ma;i++)
 75    {
 76     if(x%i==0) cnt=cnt/i*(i-1);
 77     while(x%i==0) x/=i;
 78    }
 79    if(x>1) cnt=cnt/x*(x-1);
 80    return cnt;
 81 }
 82 ll n,a[maxn],sum[maxn],pos[maxn];
 83 int main()
 84 {
 85     ios
 86     cin>>n;
 87     for(int i=1;i<=n;i++)
 88     {
 89         cin>>a[i];
 90         sum[i]=sum[i-1]+a[i];
 91     }
 92     for(int i=1;i<=n;i++)
 93     {
 94         if(sum[i]%n==0)
 95         {
 96             cout<<i<<endl;
 97             for(int j=1;j<=i;j++) cout<<a[j]<<endl;
 98                 break;
 99         }
100         if(pos[sum[i]%n])
101         {
102             cout<<i-pos[sum[i]%n]<<endl;
103             for(int j=pos[sum[i]%n]+1;j<=i;j++) cout<<a[j]<<endl;
104             break;
105         }
106         pos[sum[i]%n]=i;
107     }
108     return 0;
109 }