支援向量機

一、線性模型

找一個平面，向上或向下評選移動該平面，使之擦過一些向量，將距離 \(d\) 定義為此平面的優化量度，使 \(d\) 儘可能的大，\(d\) 叫做間距（margin），擦過的向量叫做支援向量（support vectors），即$ B_8$ 和 \(A_5\)。

設空間有 \(N\) 個向量 \(x_1,x_2,...x_N\)，它們要麼屬於 \(c_1\) 類，要麼屬於 \(c_2\) 類。即，

\[y_i = \begin{cases} 1,& x_i \in c_1 \\ -1,& x_i \in c_2 \end{cases} \]

• 優化問題

最小化（Minimize）: \(\frac{1}{2}||\omega||^2\)

限制條件（Subject to）：\(y_i[\omega^Tx_i+b]\geq 1(i=1,2,...N)\)

那麼優化問題為什麼要最小化 \(\frac{1}{2}||\omega||^2\) 呢？首先先了解兩個“事實”。

（1）若 \(\omega^T+b=0\) 表示一個平面，那麼 \(a\omega^T+ab=0\) 在 \(a\in R^+\)（正實數） 的情況下表示的平面是同一個平面。

（2）點 \((x_0,y_0)\) 到平面 \(\omega_1x+\omega_2y+b=0\)

的距離 \(s=\frac{|\omega_1x_0+\omega_2y_0+b|}{\sqrt{\omega_1^2+\omega_2^2}}\)，那麼根據推廣可知，向量 \(x_0\) 到超平面 \(\omega^Tx+b=0\) 的距離為 \(d=\frac{\omega^Tx_0+b}{||\omega||}(||\omega||=\sqrt{\omega_x^2+\omega_2^2+...+\omega_N^2})\)。

我們可以用 \(a\) 去縮放 \((\omega,b)\rightarrow (a\omega,ab)\) ，使得 \(|\omega_*^Tx_0+b_*|=1\)，那麼此時，間隔 \(d=\frac{1}{||\omega||}\)

擴充套件：上述優化問題是凸優化問題（也叫二次規劃），特點是要麼無解，要麼只有一個極值。定義為

（1）目標函式是二次項。

（2）限制條件是一次項。

二、非線性模型

線上性不可分的情況下，優化問題可以寫成：

最小化：\(\frac{1}{2}||\omega||+C\sum_{i=1}^{N}\delta_i\)

限制條件：（1）\(\delta_i\geq0\)；（2）\(y_i[\omega^Tx_i+b]\geq 1-\delta_i(i=1,2,...,N)\)

注意：

（1）\(C\)是常數，是事先設定好的，為了平衡權重。\(\omega,b,\delta_i(i=1,2,...,N)\) 為待求變數。

（2）此優化問題（也是凸優化）對任意點集，無論是否線性可分都有解。

支援向量機處理非線性情況是通過將向量 \(x\) 對映到高維空間，再用線性方式去分開。通俗的說，在低緯空間線性不可分，那麼在高維有很大的概率能夠線性可分。例如異或問題是線性不可分的。

​ 設 \(A=\left[\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix} \right] \in c_1 ,\quad B=\left[\begin{matrix} 1\\ 1 \end{matrix} \right] \in c_1 ,\quad C=\left[\begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix} \right] \in c_2 ,\quad D=\left[\begin{matrix} 0\\ 1 \end{matrix} \right] \in c_2\) ，讓 \(x\) 通過 \(\varphi(x)\) 變換對映到高維空間。即

\[x=\left[ \begin{matrix} a\\b \end{matrix}\right] \Longrightarrow \varphi(x)=\left[\begin{matrix} a^2\\b^2 \\a\\b\\ab \end{matrix}\right] \]

那麼

\[\varphi(A)=\left[\begin{matrix} 0\\ 0\\0\\0\\0 \end{matrix} \right] \in c_1 ,\quad \varphi(B)=\left[\begin{matrix} 1\\ 1 \\1\\1\\1 \end{matrix} \right] \in c_1 ,\quad \varphi(C)=\left[\begin{matrix} 1\\ 0 \\1\\0\\0 \end{matrix} \right] \in c_2 ,\quad \varphi(D)=\left[\begin{matrix} 0\\ 1\\0\\1\\0 \end{matrix} \right] \in c_2 \]

那麼可以找到一組解使其線性可分，即

\[\omega_*=\left[\begin{matrix} -1\\-1\\-1\\-1\\6 \end{matrix} \right] \quad , \quad b=1 \]

代入式子可得如下式子，顯然線性可分。

\[\omega_*^T\varphi(A)+b = 1 \geq0\quad \omega_*^T\varphi(B)+b = 3\geq0 \quad \omega_*^T\varphi(C)+b = -1 <0 \quad \omega_*^T\varphi(D)+b = -1 < 0 \]

當 \(\varphi(x)\) 接近無限維度時，線性可分的概率會接近到1，對於此問題，只需要修改 SVM 中 \(x\) 為\(\varphi(x)\) 即可。

最小化：\(\frac{1}{2}||\omega||+C\sum_{i=1}^{N}\delta_i\)

限制條件：（1）\(\delta_i\geq0\)；（2）\(y_i[\omega^T\varphi(x_i)+b]\geq 1-\delta_i(i=1,2,...,N)\)

\(\varphi(x)\) 這會是一個非常複雜的式子。其實我們不需要知道 \(\varphi(x)\) 的顯示錶達也可以計算。我們只需要知道一個核函式（kernel function），即 \(k(x_1,x_2)=\varphi(x_1)^T\varphi(x_2)\) 就可以了。

• 常用的核函式有如下：

\(Mercer's \quad Theorem\) :核函式 \(k(x_1,x_2)\) 可拆分為 \(\varphi(x_1)^T \varphi(x_2)\) 的充分條件為：對任意函式 \(\varphi(x)\) 滿足 :

\[(1)\quad k(x_1,x_2)=k(x_2,x_1)(交換律) \quad;\quad(2)\quad \forall c_i,x_i(x=1...N),\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}c_ic_jk(x_i,x_j) \geq 0(半正定性) \]

• 原問題（Prime Problem）與對偶問題(Dual Problem)

（1）原問題：

最小化（Minimize）: \(f(\omega)\)

限制條件（Subject to）: \(g_i(\omega) \le 0(i=1,2...K) \quad ;\quad h_i(\omega)=0(i=1,2,...M)\)

（2）對偶問題：

定義：\(L(\omega,\alpha,\beta) = f(w)+\sum_{i=1}^{K}\alpha_ig_i(\omega)+\sum_{i=1}^{M}\beta_i h_i(\omega)=f(\omega)+\alpha^Tg(\omega)+\beta^Th(\omega)\)

最大化（Maximize）: \(\theta(\alpha,\beta) = inf_{定義域內所有的\omega}L(\omega,\alpha,\beta)\)

\((inf即求最小值，該式是在\alpha,\beta 固定下，遍歷\omega，求最小值)\)

限制條件（Subject to）: $\alpha_i \ge 0(i=1,2,...K) $

（3）定理1：如果 \(\omega^*\) 是原問題的解，而 \(\alpha^*,\beta^*\) 是其對偶問題的解，則有 \(f(\omega^*) \ge \theta(\alpha^*,\beta^*)\)

證明：

\[\begin{aligned} \theta(\alpha^*,\beta^*) & = inf_{定義域內所有的\omega}L(\omega^*,\alpha^*,\beta^*)\\ &\le L(\omega^*,\alpha^*,\beta^*) \\ &=f(\omega^*)+\underbrace{\alpha^{*T}}_{\ge0} \underbrace{g(\omega^*)}_{\le0}+\beta^{*T}\underbrace{h(\omega^*)}_{=0} \\ &\le f(\omega^*) \end{aligned} \]

\(G = f(\omega^*) - \theta(\alpha^*,\beta^*) \ge0\) 叫原問題與對偶問題的間距（Duality Gap）。

注意：如果 \(f(\omega^*) = \theta(\alpha^*,\beta^*)\)，必能推出對於所有的 \(i=1-K,\alpha_i^* = 0 或 g_i^*(\omega^*)=0\) ,此為 \(KKT\) 條件。

（4）定理2（強對偶定理）：如果 \(g(\omega) = A\omega +b，h(\omega) = C\omega+d,f(\omega)\) 為凸函式，則 \(f(\omega^*) = \theta(\alpha^*,\beta^*)\)，即間距為0。

凸函式定義是\(\forall \omega_1,\omega_2\)，有 \(f(\lambda\omega_1+(1-\lambda)\omega_2)\le\lambda f(\omega_1)+(1-\lambda)f(\omega_2) \quad \lambda\in[0,1]\)

• 支援向量機（原問題與對偶問題）

（1）原問題

最小化：\(\frac{1}{2}||\omega||-C\sum_{i=1}^{N}\delta_i\)

限制條件：（1）\(\delta_i\le0\)；（2）\(1+\delta_i-y_i\omega^T\varphi(x_i)+y_ib\le 0(i=1,2,...,N)\)

（2）對偶問題

最大化 \(\theta(\alpha,\beta) = inf_{所有 \omega,\delta_i,b}\frac{1}{2}||\omega||^2-C\sum_{i=1}^{N}\delta_i+\sum_{i=1}^N\beta_i\delta_i+\sum_{i=1}^N\alpha_i[1+\delta_i-y_i\omega^T\varphi(x_i)+y_ib]\)

限制條件：（1）\(\alpha_i\ge0(i=1,2,...,N)\)；（2）\(\beta_i\ge0(i=1,2,...,N)\)

現在的待求引數是 \(\omega ,\delta_i ,b\)，對其求偏導，並等於0處取得最優值。

\[\begin{aligned} &\frac{\partial \theta}{\partial \omega} = \omega-\sum_{i=1}^{N}\alpha_i\varphi(x_i)y_i=0\Longrightarrow \omega=\sum_{i=1}^{N}\alpha_i\varphi(x_i)y_i \qquad (1) \\ &\frac{\partial \theta}{\partial \delta_i}=-C+\beta_i+\alpha_i=0\Longrightarrow \alpha_i+\beta_i=C \qquad (2) \\ &\frac{\partial \theta}{\partial b} = -\sum_{i=1}^N\alpha_iy_i=0\Longrightarrow\sum_{i=1}^N\alpha_iy_i =0\qquad(3) \end{aligned} \]

把（1）（2）（3）代入後的對偶問題為

最大化：

\(\theta(\alpha,\beta)=\sum_{i=1}^N-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^{N}y_iy_j\alpha_i\alpha_j\varphi(x_i)^T\varphi(x_j)=\sum_{i=1}^N-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^{N}y_iy_j\alpha_i\alpha_jk(x_i,x_j)\)

限制條件：

（1）\(0\le\alpha_i\le C(因為\beta_i\ge0且\beta_i=C-\alpha_i,所以 \alpha_i \le C,i=1,2,...,N)\)；

（2）\(\sum_{i=1}^{N}\alpha_iy_i=0(i=1,2,...,N)\)

這也是一個二次規劃問題，解此問題時，由於 \(\varphi(x_i)^T\varphi(x_j)=k(x_i,x_j)\)，我們只需要知道核函式，不需要知道 \(\varphi(x)\) 的具體表達。現在我們計算 \(\omega^T\varphi(x_i) +b\)。

首先計算 \(\omega^T \varphi(x_i)\)，根據（1）式子可得 \(\omega^T \varphi(x_i) = \sum_{j=1}^{N}y_j\alpha_j\varphi(x_j)^T\varphi(x_i)=\sum_{j=1}^{N}y_j\alpha_jk(x_j,x_i)\)

然後算 \(b\)，根據KKT條件，對於所有 \(i(i=1,2...N)\) 有 \(\alpha_i[1+\delta_i-y_i\omega^T\varphi(x_i)+y_ib] = 0\) 且 \(\beta_i\delta_i = 0 \Longrightarrow(C-\alpha_i)\delta_i = 0\)，如果對於某一個 \(i，\alpha_i \not=0，且\alpha_i \not=C\)，則必有 \(\delta_i=0(由\beta_i\not=0推出)\)，\(1+\delta_i-y_i\omega^T\varphi(x_i)+y_ib=0(由\alpha_i\not=0推出)\)，因此 \(b\) 的值為

\[b=\frac{1-y_i\omega^T\varphi(x_i)}{y_i} =\frac{1-y_i\sum_{j=1}^N\varphi_jy_jk(x_i,x_j)}{y_i} \]

最後，我們可以對測試樣本 \(x\) 進行判斷，即

\[ \begin{cases} x\in c_1 ,如果\omega^T\varphi(x_i) +b=\sum_{j=1}^{N}y_j\alpha_jk(x_j,x_i)+\frac{1-y_i\sum_{j=1}^N\varphi_jy_jk(x_i,x_j)}{y_i} \ge0 \\ x\in c_2 ,如果\omega^T\varphi(x_i) +b=\sum_{j=1}^{N}y_j\alpha_jk(x_j,x_i)+\frac{1-y_i\sum_{j=1}^N\varphi_jy_jk(x_i,x_j)}{y_i} <0 \\ \end{cases} \]