整除分塊

1.對於我們之前介紹過的特殊點 [n/d]我們可以發現，在一道完整的序列上，其中每一段連續的塊上的特殊點的值是相等的，換而言之，他是按照塊狀分佈的

2.通過打表之類的各種方法,我們驚喜的發現對於每一個值相同的塊，它的最後一個數就是n/(n/i)n/(n/i)。得出這個結論後，我們就可以做的O(n−−√)O(n)處理了。

假設我們需要求的是Σ（1-n） [n/i]

那麼我們可以得到如下的程式碼

#include <stdio.h>

using namespace std;

int n,ans=0;

int main()
{
    scanf(
 
"%d", &n);
    for(int l = 1, r;l <= n; l = r + 1)
    {
        r=n/(n/l);printf("%d ", r);
        ans+=(r-l+1)*(n/l);
    }
    printf("\n%d",ans);
    return 0;
}

以10為例，分界點就是1 2 3 5 10；

題目 3：求無平方因子數的個數

對於積性函式我們不妨來總結一下：

常見積性函式

1. μ(n)μ(n)——莫比烏斯函式。關於這個函式，我在莫比烏斯反演中說的挺清楚的了(233)，(PS：不過我將會在下文中，從另一種角度介紹它的性質。也算是把坑給填完吧)
2. φ(n)φ(n)——尤拉函式。表示不大於nn且與nn互質的正整數個數，十分常見的數論函式。用數學式子表示即：φ(n)=∑ni=1[(n,i)=1]φ(n)=∑i=1n[(n,i)=1](PS:(n,i)(n,i)表示gcd(n,i)gcd(n,i))
3. d(n)d(n)——約數個數。表示nn的約數的個數。用式子表示為：d(n)=∑d|n1d(n)=∑d|n1，也可以寫作：d(n)=∑nd=1[d|n]d(n)=∑d=1n[d|n]（其實沒什麼太大區別啦！）
4. σ(n)
   σ(n)——約數和函式。 即nn的各個約數之和。表示為：σ(n)=∑d|nd=∑nd=1[d|n]⋅dσ(n)=∑d|nd=∑d=1n[d|n]⋅d

(PS：接下來列舉的是完全積性函式)
(PS：代表字母可能會與他人的略有不同，似乎在數學中沒有統一的字母)

1. ϵ(n)ϵ(n)——元函式。似乎也有人把它叫作e(n)e(n)？其實無所謂啦~~我們只需要知道ϵ(n)=[n=1]ϵ(n)=[n=1]。(看到這個是不是有種莫名的熟悉感呢？到了下文中，就會發現這種熟悉感是從哪來的啦！)
2. I(n)I(n)——恆等函式。所謂恆等就是這個函式的值恆為11。
3. id(n)id(n)——單位函式。id(n)=nid(n)=n

【PS：注意尤拉和mobiwus的特殊性質】

13.杜教篩

PS：特別要記住一點：積性函式有一個特別重要的性質，那就是（積性函式∗∗積性函式）仍然為積性函式！！！這個性質可以用來判斷能否被杜教篩
利用狄利克雷卷積來構造遞推式，對一些數論的函式進行快速的求和（平常的演算法就是使用線性篩法來O（n）
1.求Σ（1-n）φ(n) 因為有尤拉函式 自然考慮 id = φ * 1；

我們來進行一下推導 假設

然後 因為id=n，我們自然聯想到自然數的求和 =

接下來 ，我們就要在結果當中尋找我們需要的東西

後面那個東西是子問題，可以遞迴解決【跟斐波那契一樣，我們需要使用記憶化實現，計算特殊點處的函式值】

3.時間複雜度：特殊點的結構是在（1-跟n和跟n到n兩個之間）