887. 雞蛋掉落

你將獲得 K 個雞蛋，並可以使用一棟從 1 到 N 共有 N 層樓的建築。

每個蛋的功能都是一樣的，如果一個蛋碎了，你就不能再把它掉下去。

你知道存在樓層 F ，滿足 0 <= F <= N 任何從高於 F 的樓層落下的雞蛋都會碎，從 F 樓層或比它低的樓層落下的雞蛋都不會破。

每次移動，你可以取一個雞蛋（如果你有完整的雞蛋）並把它從任一樓層 X 扔下（滿足 1 <= X <= N）。

你的目標是確切地知道 F 的值是多少。

無論 F 的初始值如何，你確定 F 的值的最小移動次數是多少？

示例 1：

輸入：K = 1, N = 2
輸出：2
解釋：
雞蛋從 1 樓掉落。如果它碎了，我們肯定知道 F = 0 。
否則，雞蛋從 2 樓掉落。如果它碎了，我們肯定知道 F = 1 。
如果它沒碎，那麼我們肯定知道 F = 2 。
因此，在最壞的情況下我們需要移動 2 次以確定 F 是多少。
 

示例 2：

輸入：K = 2, N = 6
輸出：3

本題是谷歌用於面試的一道經典面試題之一。由於本題過於經典，谷歌公司已經不再將這題作為面試的候選題目了。

思路

假設\(N=100\)

• 如果只有一個蛋 \(K=1\)

  只能從第一層開始，一層一層往上試，最差情況就要扔100次

• 無限個蛋 \(K=\infty\)

  使用二分查詢

​ 第一個蛋從50樓開始扔，如果碎了，那麼臨界樓層就在0-50之間，否則就在50-100；

​ 第二個蛋在25層扔，碎了，在0-25之間，否則在25-50

​ 所以要扔的次數\(M\)滿足 $2^M >= 100 , M>=6.64 $, 至少需要7次

• 兩個蛋\(K=2\)

  試想一下，如果第一個蛋在某些情況下碎了，那就只剩下一個蛋，退化為第一種問題，只能一層一層往上試，所以第一個蛋的作用應該在與縮小範圍，然後用第二個蛋試

  兩個蛋\(A,B\)

  A：先在第10層扔，沒碎就在20層扔，沒碎在30層扔……。也就是依次在10,20，……，100層扔，A最多可以扔10次

  B：假如A已經確定了範圍，在10層沒碎，在20層碎了，那麼就用B在10-20依次嘗試。

  最壞情況下A在100層碎了，B在99層碎了，需要10+9次

在剛才的情況中，每次扔雞蛋的樓層都是等間隔的，B每次要扔的次數都是一樣的，如果臨界樓層比較靠後，A扔的次數就多了，如果讓間隔變得不等，A每多扔一次，B的範圍就縮小一次，這樣總次數就可以平均下，也許會更好，我們嘗試下

第一次在第n層扔，第二次加n-1層，第三次加n-2層……，也就是A每次扔的間隔都會縮小一，\(n,n-1,n-2,...\) ，\(1+2+3+……+n=n(n+1)/2>=100 ，n>=13.65\)，取n=14

A： 14, 27，39， 50， 60， 69 ，77， 84， 90， 95， 99, 100

這種方法扔雞蛋次數在12-14之間，最壞情況14次

• \(K\)個蛋，\(N\)層，最小移動次數\(M(K,N)\)

先從最簡單情況說起，畫一個表，3層樓，4個蛋

第一行，只有一層樓

第一列，只有一個蛋

假如第一個蛋在\(T\)層扔，碎，臨界樓層在前面，不碎，在後面

最壞情況下要扔多少層：\(max\{M(K-1,T-1),M(K,N-T)\}+1 = M_T(K,N)\)

表示在第一個蛋扔到\(T\)層時，需要扔雞蛋的個數，不要忘了加1（扔到第\(T\)層的一次操作）

問題來了，第一個\(T\)怎麼確定？

最直接的方法就是遍歷，以每層作為起始的第一個\(T\)

第一個蛋可以扔在任意一層，在所有扔法中選最小值

\(M(K,N) = min\{M_1,M_2,……,M_N\}\)

利用動態規劃填表就可以求解上述問題

程式碼

#動態規劃
def eggdrop(K,N):
    #建表 n行 k列  
    dp = [[float('inf')]*(K+1) for _ in range(N+1)]
    
    #初始化 樓層為1 蛋為1
    for i in range(1,K+1):#0層 和 1層
        dp[0][i] = 0
        dp[1][i] = 1
    for i in range(1,N+1):#0個蛋 和 1個蛋
        dp[i][0] = 0
        dp[i][1] = i
        
    #填表 下面程式碼表示先填列
    for k in range(2,K+1):#不同蛋總數
        for n in range(2,N+1):#不同樓層總數
            for t in range(1,n):
                dp[n][k] = min(dp[n][k],max(dp[t-1][k-1],dp[n-t][k])+1)
    return dp[N][K]

複雜度

時間複雜度：\(O(N^2K)\)，三層迴圈

空間複雜度：\(O(NK)\),表的大小

注意到上述選取\(T\)的過程：遍歷每一個樓層，計算對應的值

\(M(K-1,T-1)\)：隨T增加而增加

\(M(K,N-T)\)：隨T減小而減小

使用二分查詢

#二分查詢
#動態規劃
def eggdrop(K,N):
    #建表 n行 k列  
    dp = [[float('inf')]*(K+1) for _ in range(N+1)]
    
    #初始化 樓層為1 蛋為1
    for i in range(1,K+1):#0層 和 1層
        dp[0][i] = 0
        dp[1][i] = 1
    for i in range(1,N+1):#0個蛋 和 1個蛋
        dp[i][0] = 0
        dp[i][1] = i
        
    #求解
    for k in range(2,K+1):#不同蛋數結果
        for n in range(2,N+1):#不同樓層數
            left = 1;
            right = n;
            while (left < right):
                mid = left + (right - left+1) // 2;
                breakCount = dp[mid - 1][k - 1]
                notBreakCount = dp[n - mid][k]
                if (breakCount > notBreakCount):
                    right = mid - 1
                else:
                    left = mid;
                dp[n][k] = min(dp[n][k],max(dp[left-1][k-1],dp[n-left][k])+1)
    return dp[N][K]

複雜度

時間複雜度：\(O(KNlogN)\)

空間複雜度：\(O(NK)\),表的大小

references:
李永樂老師視訊