熊大媽的奶牛在小沐沐的薰陶下開始研究資訊題目。
小沐沐先讓奶牛研究了最長上升子序列，再讓他們研究了最長公共子序列，現在又讓他們研究最長公共上升子序列了。
小沐沐說，對於兩個數列A和B，如果它們都包含一段位置不一定連續的數，且數值是嚴格遞增的，那麼稱這一段數是兩個數列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最長的就是最長公共上升子序列了。
奶牛半懂不懂，小沐沐要你來告訴奶牛什麼是最長公共上升子序列。
不過，只要告訴奶牛它的長度就可以了。
數列A和B的長度均不超過3000。

輸入格式
第一行包含一個整數N，表示數列A，B的長度。
第二行包含N個整數，表示數列A。
第三行包含N個整數，表示數列B。
輸出格式

輸入樣例：
4
2 2 1 3
2 1 2 3
輸出樣例：
2

方法一：暴力dp

• 定義狀態：
  • f[i][j] 表示包含所有A[0..i]和B[0...j]且以B[j]結尾的最長LMIS的長度
• 思考初始化：
  • f[i] =
• 思考狀態轉移方程：有兩種情況，
  • f[i][j]=f[i-1][j]，表示不包含A[i]的LMIS
  • if(A[i]==B[j])，f[i][j]=max(f[i-1][k])，if(B[k]<A[i])，k∈[1,j])，如果包含A[i]，則前提是 A[i]=B[j]，且 B[k] 都小於 A[i]；而又因為以B中的什麼元素結尾不知道所以，需要列舉所有已有情況
• 思考輸出：f[n][n]

mle，tle...

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int n; cin>>n;
    ll A[n+1], B[n+1], f[n+1][n+1]; memset(f,0,sizeof f);
    for (int i=1; i<=n; i++) cin>>A[i];
    for (int i=1; i<=n; i++) cin>>B[i];
    
    for (int i=1; i<=n; i++)
    for (int j=1; j<=n; j++) {
        f[i][j]=f[i-1][j];
        if (A[i]==B[j]) {
            ll mx=1;
            for (int k=1; k<j; k++) if (B[k]<B[j]) {
                mx=max(mx, f[i-1][k]+1);
            }
            f[i][j]=max(f[i][j], mx);
        }
    }
    int ans=1;
    for (int i=1; i<=n; i++) if (f[n][i]>ans)
        ans=f[n][i];
    cout << ans;
    return 0;
}
 

複雜度分析

• Time：\(O(n^3)\)，
• Space：\(O(n^2)\)，

方法二：優化

可以一邊列舉 j 的時候順便列舉 mx，即f[i-1][j]的值，

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int n; cin>>n;
    int A[n+1], B[n+1], f[n+1][n+1]; memset(f,0,sizeof f);
    for (int i=1; i<=n; i++) cin>>A[i];
    for (int i=1; i<=n; i++) cin>>B[i];
    
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        int mx=1;
        for (int j=1; j<=n; j++) {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if (B[j]<A[i])  mx=max(mx, f[i-1][j]+1);
            if (A[i]==B[j]) f[i][j]=max(f[i][j], mx);
        }
    }
    int ans=*max_element(f[n]+1, f[n]+n+1);
    cout << ans;
    return 0;
}

複雜度分析

• Time：\(O(n^2)\)，
• Space：\(O(n^2)\)，