P4827「國家集訓隊」 Crash 的文明世界
「國家集訓隊」 Crash 的文明世界
提供一種不需要腦子的方法。
其實是看洛谷討論版看出來的（
（但是全網也就這一篇這個方法的題解了）
首先這是一個關於樹上路徑的問題，我們可以無腦上點分治。
考慮當以 \(root\) 為根時，如何計算經過 \(root\) 的路徑對某一個點的貢獻。
若現在我們要找經過 \(root\) 的路徑中長度為 \(d\) 且路徑的一端為 \(u\)。
則這一部分的貢獻為 \(v_{d}cnt_{d-h_u}\)，其中 \(v_d=d^k\)，\(h_u\) 表示點 \(u\) 的深度，\(cnt_i\) 表示深度為 \(i\) 的節點個數。
當然這裡會有一種不合法的情況，就是找到的路徑兩端點在 \(root\)
以 \(root\) 為根時，路徑對點 \(u\) 的貢獻為（事實上對深度為 \(h_u\) 的節點貢獻是相同的）
\[\sum_{d=h_u}^{maxdeep+h_u}v_dcnt_{d-h_u}\\ \]
為了處理起來更加方便，我們增加一些無用的部分
於是有
\[\sum_{d=0}^{2\times maxdeep}v_dcnt_{d-h_u}\\ \]
令 \(n=2\times maxdeep\)。
\[\sum_{d=0}^{n}v_dcnt_{d-h_u}\\ \]
按照套路，將 \(cnt\) 陣列翻轉一下
\[\sum_{d=0}^{n}v_dcnt_{n-d+h_u}\\ \]
令
\[Ans_{n+h_u}=\sum_{d=0}^{n}v_dcnt_{n-d+h_u}\\ \]
這是一個卷積的形式，直接 \(\texttt{FFT/NTT}\) 即可。
所以總時間複雜度為 \(O(n\log_2n\log_2k)\)。
（所以為啥不把這題的 k 開到和 n 同級呢）
下面講講常數優化：
- 預處理原根、單位根必不可少。
- 能不取模儘量別取模。
- 由於這也是在分治的過程中進行 \(\texttt{FFT}\) 的計算，所以當規模較小時暴力會更快。
另外值得注意的是，由於本題的模數不是一個 \(\texttt{NTT}\) 模數，而中間過程中的結果最大可能為 \(10006^2>998244353\)
這樣的話結果就一定不會有問題。
這個題就這樣非常套路地被我們解決了。
貼一個很醜的程式碼：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+5;
const int p=1e4+7;
const int P=1004535809;
int n,k;
struct edge{
int to,nex;
}e[maxn<<1];
int head[maxn],tot;
int siz[maxn],dp[maxn],vis[maxn],rt;
int w[maxn],cnt[maxn],ans[maxn];
int f[maxn],g[maxn],rev[maxn],len=1;
void add(int a,int b){
e[++tot]=(edge){b,head[a]};
head[a]=tot;
}
int ksm(int a,int b,int p){
int ans=1;
while(b){
if(b&1) ans=1ll*ans*a%p;
b>>=1,a=1ll*a*a%p;
}
return ans;
}
vector<int> W[20];
void INIT(){
for(int i=1,num=0;num<=17;++num,i<<=1){
int w=ksm(3,(P-1)/(i<<1),P),tmp=1;
for(int k=0;k<i;++k)
W[num].emplace_back(tmp),tmp=1ll*tmp*w%P;
}
}
void NTT(int *f){
for(int i=0;i<len;++i)
if(i<rev[i]) swap(f[i],f[rev[i]]);
for(int i=1,num=0;i<len;i<<=1,++num){
for(int j=0;j<len;j+=(i<<1)){
for(int k=0;k<i;++k){
int x=f[j|k],y=1ll*W[num][k]*f[i|j|k]%P;
f[j|k]=x+y>P?x+y-P:x+y;
f[i|j|k]=x-y<0?x-y+P:x-y;
}
}
}
}
void init(int x){
len=1;
while(len<=x) len<<=1;
f[0]=g[0]=0;
for(int i=1;i<len;++i)
rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?len>>1:0);
memset(f,0,sizeof (int)*len);
memset(g,0,sizeof (int)*len);
}
void getroot(int u,int f,int sum){
siz[u]=1,dp[u]=0;
for(int i=head[u];i;i=e[i].nex){
int v=e[i].to;
if(v==f||vis[v]) continue;
getroot(v,u,sum);
siz[u]+=siz[v];
dp[u]=max(siz[v],dp[u]);
}
dp[u]=max(dp[u],sum-siz[u]);
if(dp[u]<dp[rt]) rt=u;
}
void clear(int u,int f,int dis,int &mx){
mx=max(mx,dis);
for(int i=head[u];i;i=e[i].nex){
int v=e[i].to;
if(v==f||vis[v]) continue;
clear(v,u,dis+1,mx);
}
}
void getdis(int u,int f,int dis){
++cnt[dis];
if(cnt[dis]>=p) cnt[dis]-=p;
for(int i=head[u];i;i=e[i].nex){
int v=e[i].to;
if(v==f||vis[v]) continue;
getdis(v,u,dis+1);
}
}
int owo[251];
void mul(int *a,int *b,int n){
if(n<=100){
memset(owo,0,sizeof (int)*(2*n+1));
for(int i=0;i<=n;++i)
for(int j=0;j<=n;++j)
owo[i+j]=owo[i+j]+1ll*a[i]*b[j]%P>P?owo[i+j]+1ll*a[i]*b[j]%P-P:owo[i+j]+1ll*a[i]*b[j]%P;
for(int i=0;i<=2*n;++i) a[i]=owo[i];
return ;
}
memcpy(f,a,sizeof (int)*(n+1));
memcpy(g,b,sizeof (int)*(n+1));
NTT(f),NTT(g);
for(int i=0;i<len;++i) f[i]=1ll*f[i]*g[i]%P;
NTT(f);
reverse(f+1,f+len);
int inv=ksm(len,P-2,P);
for(int i=0;i<=2*n;++i) a[i]=1ll*f[i]*inv%P;
}
void dfs(int u,int f,int dis,int opt){
ans[u]+=opt*cnt[dis];
for(int i=head[u];i;i=e[i].nex){
int v=e[i].to;
if(v==f||vis[v]) continue;
dfs(v,u,dis+1,opt);
}
}
void calc(int u,int dis,int opt){
int n=0;
clear(u,0,dis,n);n*=2;
memset(cnt,0,sizeof (int)*(n+1));
getdis(u,0,dis);
reverse(cnt,cnt+n+1);
init(2*n);
mul(cnt,w,n);
for(int i=0;i<=n;++i) cnt[i]=cnt[i+n];
dfs(u,0,dis,opt);
}
void solve(int u){
vis[u]=1;
calc(u,0,1);
for(int i=head[u];i;i=e[i].nex){
int v=e[i].to;
if(vis[v]) continue;
calc(v,1,-1);
rt=0;
getroot(v,0,siz[v]);
solve(rt);
}
}
int main(){
// freopen("1.in","r",stdin);
// freopen("1.out","w",stdout);
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n>>k;
INIT();
for(int i=1;i<n;++i){
int a,b;cin>>a>>b;
add(a,b),add(b,a);
}
for(int i=0;i<n;++i) w[i]=ksm(i,k,p);
dp[0]=(1<<30);
getroot(1,0,n);
solve(rt);
for(int i=1;i<=n;++i) cout<<ans[i]%p<<'\n';
}