有一段時間沒記錄知識類的部落格了，這篇部落格就說一下SG函式和SG定理吧

什麼是組合遊戲

在競賽中，組合遊戲的題目一般有以下特點

1. 題目描述一般為Alice、Bob 2人做遊戲
2. Alice、Bob交替進行某種遊戲規定的操作，每操作一次，選手可以在有限的操作（操作必須合法）集合中任選一種。
3. 對於遊戲的任何一種可能的局面，合法的操作集合只取決於這個局面本身，不取決於其它因素（跟選手，以前的所有操作無關）
4. 如果當前選手無法進行合法的操作，則為負

舉個例子現在有一個數0,小明小紅2人每次可以輪流在當前數加 1~3，誰先湊到21誰就贏

這個描述就符合上面的條件：

• 小明小紅（滿足1）
• 每次輪流在當前數上加1～3（滿足2）
• 當前能進行的操作只取決於這個數本身（也就是這個局面），如果這個數為20,可操作的集合為+{1}，如果為12,可操作的集合為+{1,2,3}（滿足3）
• 如果數字已經為21了,則不可能往上在加數字，可操作集合為\(Φ\)，當前選手為負（滿足4）

必勝點和必敗點的概念

• 必敗點(P點) 前一個(previous player)選手將取勝的點稱為必敗點
• 必勝點(N點) 下一個(next player)選手將取勝的點稱為必勝點

比如現在數字已經為18了，那麼當前操作人只要給數字+3則必勝，我們就把在此位置稱為必勝點（正常操作情況下，別槓說都18偏要+2。。。。）
必勝點和必敗點的性質：
- 所有的終結點都是必敗點
- 從任何必勝點操作，至少有一種方式進入必敗點
- 無論如何操作， 從必敗點都只能進入必勝點.

Sprague-Grundy(SG)定理

遊戲和的SG函式等於各個遊戲SG函式的Nim和。這樣就可以將每一個子遊戲分而治之，從而簡化了問題。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim遊戲中的直接應用，因為單堆的Nim遊戲 SG函式滿足 SG(x) = x。

Nim和 ： 各個數相異或的結果

SG函式

先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表最小的不屬於這個集合的非負整數。例如\(mex\{0,1,2,4\}=3、mex\{2,3,5\}=0、mex\{\}=0\)。
對於任意狀態 x ， 定義 SG(x) = mex(S),其中 \(S\)

的終態必然是空集，所以\(SG\) 函式的終態為 \(SG(x) = 0\) ,當且僅當x 為必敗點P時

取石子問題

有1堆n個的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }個石子，先取完石子者勝利，那麼各個數的SG值為多少？

SG[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1 時，可以取走1 - f{1}個石子，剩餘{0}個，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;

x=2 時，可以取走2 - f{1}個石子，剩餘{1}個，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;

x=3 時，可以取走3 - f{1,3}個石子，剩餘{2,0}個，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;

x=4 時，可以取走4- f{1,3,4}個石子，剩餘{3,1,0}個，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;

x=5 時，可以取走5 - f{1,3,4}個石子，剩餘{4,2,1}個，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

以此類推…

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8…

SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1…

由上述例項我們就可以得到SG函式值求解步驟，那麼計算1~n的SG函式值步驟如下：

1、使用 陣列f 將 可改變當前狀態 的方式記錄下來。

2、然後我們使用 另一個數組 將當前狀態x 的後繼狀態標記。

3、最後模擬mex運算，也就是我們在標記值中 搜尋 未被標記值 的最小值，將其賦值給SG(x)。

4、我們不斷的重複 2 - 3 的步驟，就完成了 計算1~n 的函式值。
模板如下：

//f[N]:可改變當前狀態的方式，N為方式的種類，f[N]要在getSG之前先預處理
//SG[]:0~n的SG函式值
//S[]:為x後繼狀態的集合
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void  getSG(int n){
    int i,j;
    memset(SG,0,sizeof(SG));
    //因為SG[0]始終等於0，所以i從1開始
    for(i = 1; i <= n; i++){
        //每一次都要將上一狀態 的 後繼集合 重置
        memset(S,0,sizeof(S));
        for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
            S[SG[i-f[j]]] = 1;  //將後繼狀態的SG函式值進行標記
        for(j = 0;; j++) if(!S[j]){   //查詢當前後繼狀態SG值中最小的非零值
            SG[i] = j;
            break;
        }
    }
}

其實不難發現，Nim遊戲就是一個很典型的用SG定理解決的問題，因為Nim遊戲在一堆n個石子中可以取1-n個石子，所以單獨這一堆石子的SG值為\(mex（n−1,n−2,n−3,...,n−n）=n\)，根據SG定理，每一堆石子總數相互異或即為答案

本文是參考其他博文+自己理解，整理而來，現附上參考博文連結：
https://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45555495
https://blog.csdn.net/SM_545/article/details/77340690